Властивості висоти трикутника

Висотою трикутника, проведеної з даної вершини, називається перпендикуляр, опущений з цієї вершини на протилежну сторону або її продовження.

Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, званої ортоцентром трикутника.

Властивості висоти трикутника

• У гострокутному трикутнику висоти перетинаються всередині трикутника; в тупокутний – поза трикутником; в прямокутному – у вершині прямого кута;
• У прямокутному трикутнику катети є висотами;
• У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних до вихідного;
• У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники;
• У рівнобедреному трикутнику висота, опущена на основу, є медіаною і бісектрисою;
• У рівносторонньому трикутнику всі висоти є медіанами і бісектрисами.

2. Медіани, бісектриси і висоти трикутника

\(2)\) З’єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.

В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

\(1)\) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини ).

\(3)\) З’єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
• Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.
• Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.
• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
• Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

\(1)\) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника ( у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику );

\(2)\) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр ( перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90 ° ). Це і буде висота.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.

Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.

1. Визначні точки трикутника

Теорема 2 (протилежна). Точка, що лежить усередині нерозгорнутого кута й рівновіддалена від його сторін, лежить на бісектрисі цього кута.

Теорема 4 (протилежна). Точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до нього.

Чи є бісектрисою \(CK\)\(?\) Якщо точка \(O\) рівновіддалена від сторін \(AB\) і \(AC\) та від сторін \(BA\) і \(BC,\) то вона лежить на бісектрисі ∠ C \(,\) оскільки рівновіддалена від сторін кута.

Припустимо, точка \(O\) — точка перетину двох серединних перпендикулярів сторін \(AB\) і \(BC.\) Вона рівновіддалена від точок \(A\) і \(B,\) і від точок \(B\) і \(C.\) Отже, вона лежить на серединному перпендикулярі сторони \(AC,\) оскільки рівновіддалена від її кінцевих точок.

Ця точка і є центром кола, описаного навколо трикутника. Вона розташовується в трикутниках із гострими кутами, поза трикутником із тупим кутом і на гіпотенузі прямокутного трикутника.

Теорема 7. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у співвідношені \(2\) \(:\) \(1,\) рахуючи від вершини.