Правильна шестикутна піраміда. Формули об’єму та площі поверхні. Рішення геометричної задачі

Стереометрія, як розділ геометрії в просторі, вивчає властивості призм, циліндрів, конусів, куль, пірамід і інших об’ємних фігур. Дана стаття присвячена детальному розгляду характеристик і властивостей правильної шестикутної піраміди.

Яка піраміда вивчатиметься

Правильна шестикутна піраміда являє собою фігуру в просторі, яка обмежена одним рівностороннім і рівнокутним шестикутником, і шістьма однаковими трикутниками равнобедренными. Ці трикутники можуть бути також рівносторонніми при певних умовах. Ця піраміда нижче показана.

Тут зображена одна і та ж фігура, тільки в одному випадку вона повернена бічною гранню до читача, а в іншому – бічним ребром.

Правильна шестикутна піраміда має 7 граней, які були названі вище. Також їй належать 7 вершин і 12 ребер. На відміну від призм, у всіх пірамід є одна особлива вершина, яка утворена перетинанням бічних трикутників. Для правильної піраміди вона відіграє важливу роль, оскільки опущений з неї на підставу фігури перпендикуляр є заввишки. Далі висоту будемо позначати буквою h.

Показана піраміда називається правильною по двох причинах:

• в її основі знаходиться шестикутник з однаковими довжинами сторін a і з однаковими кутами 120 o;
• висота піраміди h перетинає шестикутник точно в його центрі (точка перетину лежить на однаковій відстані від усіх боків і від усіх вершин шестикутника).

Правильна шестикутна піраміда. Формули об’єму і площі поверхні. Розв “язання геометричного завдання

Стереометрія, як розділ геометрії в просторі, вивчає властивості призм, циліндрів, конусів, куль, пірамід та інших об’ємних фігур. Ця стаття присвячена докладному розгляду характеристик і властивостей шестикутної правильної піраміди.

Яку піраміду вивчатимуть

Правильна шестикутна піраміда являє собою фігуру в просторі, яка обмежена одним рівностороннім і рівнокутним шестикутником, і шістьма однаковими трикутниками рівнобедреними. Ці трикутники можуть бути рівносторонніми за певних умов. Ця піраміда нижче показана.

Тут зображена одна і та ж фігура, тільки в одному випадку вона повернута бічною межею до читача, а в іншому – боковим ребром.

Правильна шестикутна піраміда має 7 граней, які були названі вище. Також їй належать 7 вершин і 12 ребер. На відміну від призм, у всіх пірамід є одна особлива вершина, яка утворена перетином бічних трикутників. Для правильної піраміди вона відіграє важливу роль, оскільки опущений з неї на основу фігури перпендикуляр є висотою. Далі висоту будемо позначати буквою h.

Показана піраміда називається правильною з двох причин:

• у її підставі знаходиться шестикутник з рівними довжинами сторін a і з однаковими кутами по 120o;
• висота піраміди h перетинає шестикутник точно в його центрі (точка перетину лежить на однаковій відстані від усіх сторін і від усіх вершин шестикутника).

Площа поверхні

Властивості правильної піраміди шестикутної почнемо розглядати з визначення її площі. Для цього спочатку корисно привести розгортку фігури на площині. Схематичне її зображення показано нижче.

Видно, що площа розгортки, а значить, і всієї поверхні розглянутої фігури, дорівнює сумі площ шести однакових трикутників і одного шестикутника.

Для визначення площі шестикутника S6 скористаємося універсальною формулою для правильного n-вугільника:

Де літерою a позначена довжина боку шестикутника.

Площу трикутника S3 бокової сторони можна знайти, якщо знати величину його висоти hb:

Оскільки всі шість трикутників рівні між собою, то отримуємо робочий вираз для визначення площі шестикутної піраміди з правильною підставою:

S = S6 + 6*S3 = 3*√3/2*a2 + 6*1/2*hb*a = 3*a*(√3/2*a + hb).

Обсяг піраміди

Так само, як і площа, об’єм шестикутної правильної піраміди є важливою її властивістю. Цей обсяг розраховується за загальною формулою для всіх пірамід і конусів. Запишемо її:

Тут символом So названа площа шестикутної основи, тобто So = S6.

Підставляючи у формулу для V записаний вище вираз для S6, приходимо до кінцевої рівності для визначення обсягу піраміди шестикутної правильної:

Приклад геометричного завдання

У шестикутній піраміді правильної бокове ребро в два рази більше довжини сторони основи. Знаючи, що останнє дорівнює 7 см, необхідно обчислити площу поверхні і об’єм даної фігури.

Як можна здогадатися, вирішення цього завдання передбачає використання отриманих вище виразів для S і V. Тим не менш відразу ними скористатися не вийде, оскільки ми не знаємо апофему і висоту правильної піраміди шестикутної. Займемося їх обчисленням.

Апофему hb можна визначити, розглянувши трикутник прямокутний, побудований на сторонах b, a/2 і hb. Тут b – довжина бокового ребра. Використовуючи умову завдання, отримуємо:

hb = ^ (b2-a2/4) = ^ (142-72/4) = 13,555 см.

Висоту h піраміди можна визначити точно так само, як апофему, тільки розглядати тепер слід трикутник зі сторонами h, b і a, що знаходиться всередині піраміди. Висота буде рівна:

h = ^ (b2 – a2) = ^ (142 – 72) = 12,124 см.

Видно, що розраховане значення висоти менше такого для апофеми, що справедливо для будь-якої піраміди.

Тепер можна скористатися виразами для обсягу і площі:

S = 3*a*(√3/2*a + hb) = 3*7*(√3/2*7 + 13,555) = 411,96 см2;

V = ^ 3/2 * a2 * h = ^ 3/2 * 72 * 12,124 = 514,48 см3.

Таким чином, для однозначного визначення будь-якої характеристики правильної шестикутної піраміди необхідно знати два будь-яких її лінійних параметри.