Що таке чотиривимірний простір?

Подання світу в різних вимірах змінює те, як ми сприймаємо все навколо, включаючи час і простір. Думати про різницю між двома вимірами і трьома вимірами легко, але що щодо четвертого? Важливо розуміти, що мають на увазі науковці та інші дослідники, коли говорять про різні вимірах: наш світ має три просторових виміри: ширину, глибину і висоту, а четвертим виміром може бути час. Вчені багато років проводять дослідження в спробах з’ясувати що ж таке четвертий просторовий вимір, однак через те, що спостерігати четвертий вимір ми не можемо, докази його існування знайти дуже важко.

Скільки існує вимірювань?

Щоб краще розуміти, на що може бути схожий четвертий вимір, давайте ближче подивимося на те, що саме робить три виміри тривимірними, і, слідуючи цим ідеям, подумаємо про те, що таке четвертий вимір. Отже, довжина, ширина і висота складають три виміри спостережуваного світу. Всі три виміри ми можемо спостерігати завдяки емпіричним даним, а також органами почуттів – такими як зір.

Визначити положення точок і напрямки векторів в тривимірному просторі можна уздовж опорної точки. Найпростіше уявити собі тривимірний простір як тривимірний куб з трьома просторовими осями, які визначають ширину, висоту і довжину куба. Осі рухаються вперед і назад, вгору і вниз, вліво і вправо разом з часом – виміром, який ми безпосередньо не спостерігаємо, але сприймаємо. При порівнянні 3D і 4D, враховуючи спостереження тривимірного просторового світу, чотиривимірний куб буде Тессеракт – об’єктом, який рухається в трьох вимірах, які ми і сприймаємо і в четвертому, який не можемо спостерігати.

Математик Генрі Сегерман з університету штату Оклахома створив і описав свої власні 4-мірні скульптури. Точно так само, як тривимірний об’єкт відкидає двовимірну тінь, Сегерман стверджував, що його скульптури є тривимірними тінями четвертого виміру. Хоча ці приклади тіней не дають прямих способів спостереження четвертого виміру, вони є хорошим індикатором того, як думати про четвертий вимір.

Математики часто призводять аналогію з мурахою, що йде по аркушу паперу, описуючи межі сприйняття щодо вимірів. Мураха, що йде по поверхні паперу, може сприймати тільки два виміри, але це не означає, що третього виміру не існує. Це просто означає, що мураха може безпосередньо бачити тільки два виміри і виводити третій вимір через міркування про ці два виміри. Точно так само люди можуть міркувати про природу четвертого виміру, не сприймаючи його безпосередньо.

Чотиривимірний куб Тессеракт (зображений на головному фото) – це один із прикладів того, як тривимірний світ, описуваний x, y і z, може розширюватися в четвертий. Математики, фізики та інші вчені можуть представляти вектори в четвертому вимірі, використовуючи чотиривимірний вектор, який включає в себе інші змінні, такі як w. Геометрія об’єктів в четвертому вимірі більш складна, так як включає в себе 4-багатогранники, які є чотиривимірний фігурами. Ці об’єкти показують різницю між 3D і 4D зображеннями.

Чи існує життя в четвертому вимірі?

Те, як виглядали б істоти або життя в чотирьох вимірах, цікавило учених та інших фахівців впродовж десятиліть. В оповіданні письменника Роберта Хайнлайна 1940 року «Будинок який побудував Тім» йшлося про будівництво будівлі в формі Тессеракт. Письменник Кліфф Піковер уявляв собі чотиривимірних істот як «повітряні кулі тілесного кольору, постійно мінливі в розмірах. Ці істоти будуть здаватися вам розрізненими шматками плоті, точно так само, як двовимірний світ дозволяє вам бачити тільки поперечним перерізом і залишки світу тривимірного. »

Джон Нортон з Відділу історії і філософії науки Піттсбурзького університету вважає, що можна прийти до розуміння природи четвертого виміру, ставлячи питання про те, що робить одно -, двох – і тривимірні об’єкти і явища такими, якими вони є, екстраполюючи їх в четвертий вимір. Істота, яка живе в четвертому вимірі, може володіти таким «стереобачення», описаним Нортоном, щоб візуалізувати чотиривимірні образи, не будучи обмеженим трьома вимірами.

Однак точно відповісти на питання про те, чи існують 4D істоти сьогодні не може ніхто.

Be the first to comment

Leave a Reply Скасувати коментар

Щоб відправити коментар вам необхідно авторизуватись.

Світ чотирьох вимірювань

Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.

Ми живемо в тривимірному світі. Саме тому нам важко уявити собі світ іншого виміру. Порівняно легко це зробити тільки для одновимірного і двовимірного простору. Були навіть спроби зобразити двовимірний світ в художній літературі. Був такий роман «Епізод під Флетленде», написаний викладачем математики Ч. Хінтоном. Свій Флетленд – плоску країну – Хінтон населив людьми двох вимірів. Це дозволило йому образно розповісти про властивості двовимірного простору. Люди двох вимірів – фантазія Хінтона. Але якби вони існували в дійсності, їм важко було б уявити собі тривимірний світ: адже «двовимірні» Хінтона позбавлені досвідченого відчуття третьої координати. Так само як «плоским людям» важко уявити тривимірний світ, так нам, жителям цього тривимірного світу, важко уявити собі світ чотирьох вимірів. Але все ж давайте спробуємо.

Як відомо, положення точки на прямій задається одним числом (однією координатою), на площині – двома, в просторі – трьома координатами: абсцисою, ординатою і аплікатою. Тому математики називають пряму простором одного виміру площини – двовимірним простором, а навколишній світ – простором трьох вимірів.

Так як одне число задає точку в деякому одновимірному просторі, пара чисел – в двовимірному, а трійка чисел – в тривимірному просторі, то за аналогією можна вважати, що сукупність чотирьох чисел визначає точку в чотиривимірному просторі, п’яти – у п’ятимірному просторі і т. д.

Поняття про чотиривимірний світ можна ввести ще інакше. Пряму можна мислити як одномірний простір, утворений рухомою точкою. Площина – це двовимірний простір, який утворюється при русі прямої лінії і напрямку, перпендикулярному цій прямій лінії. Простір трьох вимірів виходить, якщо рухати площину в напрямку, перпендикулярному площині. Отже, чотирьохмірний простір можна уявляти собі як деякий геометричний об’єкт, який виникає при русі тривимірного простору в якомусь невідомому нам напрямку, «перпендикулярному» тривимірного простору. Вивчати чотиривимірний простір можна різними способами. Розповімо спочатку, як можна встановлювати властивості простору чотирьох вимірювань алгебраїчними методами.

Як відомо, рівняння, що зв’язує дві змінні величини, задає лінію на площині. Наприклад, запис x 2 +y 2 =25 означає коло з центром на початку координат і радіусом, рівним п’яти. Співвідношення, що зв’язує три змінні величини, визначає поверхню в тривимірному просторі, x 2 +y 2 +z 2 =25 – це рівняння сфери в просторі трьох вимірів. За аналогією можна вважати, що рівняння x 2 +y 2 +z 2 +u 2 =25 задає сферу в чотиривимірному просторі. Радіус цієї сфери теж дорівнює п’яти, а центр знаходиться на початку: координат. Вивчаючи рівняння з чотирма змінними, ми можемо робити висновки про властивості сфери чотирьох вимірів, аналогічно тому, як, вивчаючи рівняння x 2 +y 2 +z 2 =25 ми робимо висновки про властивості звичайної сфери.

Спосіб вивчення чотиривимірного світу за допомогою алгебри в якійсь мірі непрямий. Можна вказати безпосередньо геометричні методи вивчення простору чотирьох вимірів.

Уявіть собі, що ви дивитеся згори на скляний куб, що стоїть на столі. Цей малюнок – плоска фігура. Вона отримана в такий спосіб: намальований великий квадрат, потім в ньому – менший, і, нарешті, вершини квадратів з’єднані відрізками прямих ліній.

Отже, користуючись квадратом, ми можемо намалювати плоску фігуру і з її допомогою вивчати тіло трьох вимірів, Наприклад, дивлячись на малюнок, ми можемо сказати, що тривимірний куб має шість граней, 8 вершин, 12 ребер і т. д.

Точно так же, як був намальований менший квадрат в більшому, ми можемо помістити менший куб в більшому і з’єднати ребра кубів площинами, як раніше з’єднували відрізками вершини квадратів. За аналогією ми можемо розглядати фігуру, як тривимірне зображення чотиривимірного куба. За допомогою малюнка ми можемо зробити висновок, що чотиривимірний куб обмежений вісьмома тривимірними кубами і має 16 вершин, 24 грані і 32 ребра.

Інший геометричний метод вивчення чотиривимірного простору заснований на методі розгортки. Уявіть собі, що контур, що обмежує квадрат, зроблений з дроту. Тоді, розрізавши дріт і розпрямивши його, ми отримаємо відрізок. Так від двовимірної фігури можна перейти до одновимірної, від квадрата – до відрізка.

На аркуші паперу намальована окружність. Поставте олівець вістрям на аркуш паперу поза колом і спробуйте доторкнутися грифелем до центру кола, не відриваючи олівець від паперу і не перетинаючи коло. Зробити це неможливо. Щоб торкнутися центру кола, не перетинаючи його, доведеться відірвати олівець від паперу – вивести його в третій вимір.

Подібно до того, як в просторі трьох вимірів точка може увійти в коло і вийти з нього, не торкаючись до окружності, так в просторі чотирьох вимірів тіло може увійти всередину сфери або вийти з неї, не пошкоджуючи поверхні сфери. Отже, все закрите, всякі внутрішні області в нашому тривимірному світі відкриті для огляду або дії з четвертого виміру. У чотиривимірному просторі гумовий м’ячик може бути без розривів вивернутий навиворіт, а два кільця ланцюга роз’єднані без порушення їх цілісності.

Або інший приклад. У тривимірному просторі рухається матеріальна точка. Зрозуміло, що в кожен даний момент часу t точка має певні координати х, y, z. Ці четвірки чисел (х, у, z, t) можна розглядати як координати деякої точки в просторі чотирьох вимірів. Саме так і чинять фізики. Особливо тісний зв’язок між простором і часом встановлює теорія відносності, яка розглядає рух тіл як переміщення їх в просторово-часовому чотиривимірному світі.

І останній приклад. Відправним пунктом для побудови класичної статистичної фізики служать уявлення про фазовий простір – простір всіх узагальнених координат і всіх узагальнених імпульсів даної системи. Сукупність значень всіх координат і імпульсів для деякого моменту часу повністю визначає стан ( «фазу») системи. Зміна стану системи з часом можна представляти як рух точки по деякій лінії у фазовому просторі – фазової траєкторії. Якщо досліджувана система залежить тільки від двох координат, то фазовий простір – простір чотирьох вимірів, так як будь-яка точка в ньому задається чотирма числами: двома координатами і двома імпульсами.

Вивчення чотиривимірного світу збагачує геометрію. Так, наприклад, окружність, що розглядається тільки як сукупність точок (одномірна крива), має дуже мало особливостей. Те ж коло, розглянуте в площині, має центр, радіуси, дотичні і т. д., а в тривимірному просторі воно вже вступає в геометричні відносини з іншими фігурами: сферою, конусом, циліндром.

Відомо, що фізичний процес можна описати тим чи іншим математичним рівнянням. Якщо в таке рівняння входять чотири змінні величини, то, вивчаючи властивості цього рівняння, ми тим самим будемо вивчати властивості чотиривимірного світу. Навпаки, вивчаючи властивості чотиривимірного простору, ми дізнаємося особливості рівнянь чотирьох змінних і на їх основі можемо робити висновки про характер тих чи інших фізичних процесів.

Таким чином, вивчення багатовимірних просторів розвиває геометричні уявлення, а також знаходить своє практичне застосування при дослідженні різних фізичних процесів з багатьма параметрами.

8.1: Метричні простори

Тоді пара \((X,d)\) називається метричним простором. Функція \(d\) називається метричною або іноді функцією відстані. Іноді ми просто говоримо, що \(X\) це метричний простір, якщо метрика зрозуміла з контексту.

Геометрична ідея полягає в \(d\) тому, що це відстань між двома точками. Елементи [metric:pos] — [metric:com] мають очевидну геометричну інтерпретацію: відстань завжди невід’ємна, єдина точка, яка \(x\) знаходиться на відстані 0, \(x\) сама по собі, і, нарешті, відстань від \(x\) до \(y\) така ж, як відстань від \(y\) до \(x\) . Нерівність трикутника [metric:triang] має інтерпретацію, наведену в

Для цілей креслення зручно малювати фігури та схеми в площині і мати метрику стандартної відстані. Однак це лише один конкретний метричний простір. Просто тому, що певний факт здається зрозумілим з малюнка, не означає, що це правда. Ви можете отримати в сторону інтуїції від евклідової геометрії, тоді як концепція метричного простору є набагато більш загальною.

Наведемо кілька прикладів метричних просторів.

Набір дійсних чисел \(<\mathbb>\) є метричним простором з метрикою \[d(x,y) := \left\lvert \right\rvert .\] Items [metric:pos] — [metric:com] визначення легко перевірити. Нерівність трикутника [metric:triang] випливає відразу зі стандартної нерівності трикутника для дійсних чисел: \[d(x,z) = \left\lvert \right\rvert = \left\lvert \right\rvert \leq \left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert = d(x,y)+ d(y,z) .\] Ця метрика є стандартною метрикою на \(<\mathbb>\) . Якщо говорити про \(<\mathbb>\) як про метричний простір без згадки конкретної метрики, ми маємо на увазі саме цю метрику.

Ми також можемо поставити іншу метрику на набір дійсних чисел. Наприклад, візьмемо набір дійсних чисел \(<\mathbb>\) разом з метрикою \[d(x,y) := \frac <\left\lvert \right\rvert> <\left\lvert \right\rvert+1> .\] Items [metric:pos] — [metric:com] знову легко перевірити. Нерівність трикутника [metric:triang] трохи складніше. Зауважте, що \(d(x,y) = \varphi(\left\lvert \right\rvert)\) де \(\varphi(t) = \frac\) і зверніть увагу, що \(\varphi\) є зростаючою функцією (додатною похідною) отже \[\begin d(x,z) & = \varphi(\left\lvert \right\rvert) = \varphi(\left\lvert \right\rvert) \leq \varphi(\left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert) \\ & = \frac <\left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert> <\left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert+1> = \frac <\left\lvert \right\rvert> <\left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert+1> + \frac <\left\lvert \right\rvert> <\left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert+1> \\ & \leq \frac <\left\lvert \right\rvert> <\left\lvert \right\rvert+1> + \frac <\left\lvert \right\rvert> <\left\lvert \right\rvert+1> = d(x,y)+ d(y,z) . \end\] Тут ми маємо приклад нестандартної метрики на \(<\mathbb>\) . За допомогою цієї метрики ми можемо побачити, наприклад, це \(d(x,y) < 1\) для всіх \(x,y \in <\mathbb>\) . Тобто будь-які дві точки знаходяться менше 1 одиниці один від одного.

Важливим метричним простором є \(n\) -мірний евклідовий простір \(<\mathbb>^n = <\mathbb> \times <\mathbb>\times \cdots \times <\mathbb>\) . Використовуємо такі позначення для очок: \(x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in <\mathbb>^n\) . Ми також просто пишемо \(0 \in <\mathbb>^n\) , щоб означати вектор \((0,0,\ldots,0)\) . Перш ніж зробити \(<\mathbb>^n\) метричний простір, доведемо важливу нерівність, так звану нерівність Коші-Шварца.

Візьміть \(x =(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in <\mathbb>^n\) і \(y =(y_1,y_2,\ldots,y_n) \in <\mathbb>^n\) . Тоді \[<\biggl( \sum_^n x_j y_j \biggr)>^2 \leq \biggl(\sum_^n x_j^2 \biggr) \biggl(\sum_^n y_j^2 \biggr) .\]

Будь-який квадрат дійсного числа є невід’ємним. Отже, будь-яка сума квадратів невід’ємна: \[\begin 0 & \leq \sum_^n \sum_^n (x_j y_k – x_k y_j)^2 \\ & = \sum_^n \sum_^n \bigl( x_j^2 y_k^2 + x_k^2 y_j^2 – 2 x_j x_k y_j y_k \bigr) \\ & = \biggl( \sum_^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_^n y_k^2 \biggr) + \biggl( \sum_^n y_j^2 \biggr) \biggl( \sum_^n x_k^2 \biggr) – 2 \biggl( \sum_^n x_j y_j \biggr) \biggl( \sum_^n x_k y_k \biggr) \end\] Ми позначимо і ділимо на 2, щоб отримати те \[0 \leq \biggl( \sum_^n x_j^2 \biggr) \biggl( \sum_^n y_j^2 \biggr) – <\biggl( \sum_^n x_j y_j \biggr)>^2 ,\] , що саме те, що ми хотіли.

Побудуємо стандартну метрику для \(<\mathbb>^n\) . Визначте \[d(x,y) := \sqrt< ^2 + ^2 + \cdots + ^2 > = \sqrt< \sum_^n ^2 > .\] \(n=1\) For, реальну лінію, ця метрика узгоджується з тим, що ми зробили вище. Знову ж таки, єдина складна частина визначення для перевірки – нерівність трикутника. Менш безладно працювати з квадратом метрики. Далі зверніть увагу на використання нерівності Коші-Шварца. \[\begin d(x,z)^2 & = \sum_^n ^2 \\ & = \sum_^n ^2 \\ & = \sum_^n \Bigl( ^2+^2 + 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \Bigr) \\ & = \sum_^n ^2 + \sum_^n ^2 + \sum_^n 2(x_j-y_j)(y_j-z_j) \\ & \leq \sum_^n ^2 + \sum_^n ^2 + 2 \sqrt< \sum_^n ^2 \sum_^n ^2 > \\ & = <\left( \sqrt< \sum_^n ^2 > + \sqrt< \sum_^n ^2 > \right)>^2 = <\bigl( d(x,y) + d(y,z) \bigr)>^2 . \end\] Взявши квадратний корінь обох сторін, отримаємо правильну нерівність.

Прикладом, який слід пам’ятати, є так звана дискретна метрика. \(X\) Дозволяти будь-який набір і визначити \[d(x,y) := \begin 1 & \text, \\ 0 & \text. \end\] Тобто всі точки однаково віддалені один від одного. Коли \(X\) є кінцевим набором, ми можемо намалювати діаграму, див. Наприклад. Речі стають тонкими \(X\) , коли є нескінченний набір, такий як дійсні числа.

Хоча цей конкретний приклад рідко зустрічається на практиці, він дає корисний «тест на запах». Якщо ви робите заяву про метричні простори, спробуйте його з дискретною метрикою. Щоб показати, що \((X,d)\) це дійсно метричний простір залишається як вправа.

[Example:MSC01] \(C([a,b])\) Дозволяти бути множиною неперервних дійсних функцій на інтервалі \([a,b]\) . Визначте метрику далі \(C([a,b])\) , як \[d(f,g) := \sup_ \left\lvert \right\rvert .\] Давайте перевіримо властивості. По-перше, \(d(f,g)\) є кінцевим, як і \(\left\lvert \right\rvert\) неперервна функція на замкнутому обмеженому інтервалі \([a,b]\) , і так обмежена. Зрозуміло \(d(f,g) \geq 0\) , що це супремум невід’ємних чисел. Якщо \(f = g\) то \(\left\lvert \right\rvert = 0\) для всіх \(x\) і значить \(d(f,g) = 0\) . І навпаки якщо \(d(f,g) = 0\) , то для будь-якого у \(x\) нас є \(\left\lvert \right\rvert \leq d(f,g) = 0\) і значить \(f(x) = g(x)\) для всіх \(x\) і \(f=g\) . \(d(f,g) = d(g,f)\) Це однаково тривіально. Для показу нерівності трикутника ми використовуємо стандартну нерівність трикутника. \[\begin d(f,h) & = \sup_ \left\lvert \right\rvert = \sup_ \left\lvert \right\rvert \\ & \leq \sup_ ( \left\lvert \right\rvert+\left\lvert \right\rvert ) \\ & \leq \sup_ \left\lvert \right\rvert+ \sup_ \left\lvert \right\rvert = d(f,h) + d(h,g) . \end\] Коли розглядати \(C([a,b])\) як метричний простір без згадки метрики, ми маємо на увазі саме цю метрику.

Цей приклад може здатися езотеричним спочатку, але виявляється, що робота з такими просторами, як насправді \(C([a,b])\) є м’ясом значної частини сучасного аналізу. Обробка множин функцій як метричних просторів дозволяє нам абстрагуватися від великої кількості грубих деталей і довести потужні результати, такі як теорема Пікара з меншою роботою.

Часто корисно розглядати підмножину більшого метричного простору як метричний простір. Отримуємо наступну пропозицію, яке має банальний доказ.

\((X,d)\) Дозволяти бути метричний простір і \(Y \subset X\) , тоді обмеження \(d|_\) є метрикою на \(Y\) .

Якщо \((X,d)\) є метричним простором \(Y \subset X\) , і \(d’ := d|_\) , \((Y,d’)\) то, як кажуть, підпростір \((X,d)\) .

Зазвичай просто писати \(d\) для метрики на \(Y\) , оскільки це обмеження метрики на \(X\) . Іноді ми скажемо, що \(d’\) це підпростір метрика і що \(Y\) має топологію підпростору.

Підмножина дійсних чисел обмежується всякий раз, коли всі його елементи знаходяться на максимальній фіксованій відстані від 0. Ми також можемо визначити обмежені множини в метричному просторі. При роботі з довільним метричним простором може не бути якоїсь природної фіксованої точки 0. Для цілей обмеженості це не має значення.

\((X,d)\) Дозволяти бути метричний простір. Підмножина \(S \subset X\) , як кажуть, обмежений, якщо існує \(p \in X\) і \(B \in <\mathbb>\) такий, що \[d(p,x) \leq B \quad \text.\] Ми говоримо, що \((X,d)\) обмежена, якщо \(X\) сама є обмеженою підмножиною.

Наприклад, набір дійсних чисел зі стандартною метрикою не є обмеженим метричним простором. Неважко помітити, що підмножина дійсних чисел обмежена в сенсі якщо і тільки тоді, коли вона обмежена як підмножина метричного простору дійсних чисел стандартною метрикою.

З іншого боку, якщо взяти дійсні числа з дискретною метрикою, то отримаємо обмежений метричний простір. По суті, будь-яка множина з дискретною метрикою обмежена.

Вправи

Показати, що для будь-якої \(X\) множини дискретна метрика ( \(d(x,y) = 1\) якщо \(x\not=y\) і \(d(x,x) = 0\) ) дає метричний простір \((X,d)\) .

Нехай \(X := \< 0 \>\) буде набір. Чи можете ви зробити це в метричному просторі?

Нехай \(X := \< a, b \>\) буде набір. Чи можете ви зробити це в два різних метричних простори? (визначити дві різні показники на ньому)

Нехай набір \(X := \< A, B, C \>\) представляє 3 будівлі на території кампусу. Припустимо, ми хочемо, щоб наша відстань була часом, необхідним для прогулянки від однієї будівлі до іншої. Це займає 5 хвилин в будь-якому випадку між будівлями \(A\) і \(B\) . Однак будівля \(C\) знаходиться на пагорбі, і це займає 10 хвилин від \(A\) і 15 хвилин від, \(B\) щоб дістатися \(C\) . З іншого боку, потрібно 5 хвилин, щоб перейти від \(C\) до \(A\) і 7 хвилин, щоб перейти від \(C\) до \(B\) , як ми йдемо вниз. Чи визначають ці відстані метрику? Якщо так, доведіть це, якщо не скажіть, чому б і ні.

Припустимо, що \((X,d)\) це метричний простір і \(\varphi \colon [0,\infty] \to <\mathbb>\) є зростаючою функцією такої, що \(\varphi(t) \geq 0\) для всіх \(t\) і \(\varphi(t) = 0\) якщо і тільки якщо \(t=0\) . Також припустимо, що \(\varphi\) це субдобавка, тобто \(\varphi(s+t) \leq \varphi(s)+\varphi(t)\) . Показуємо \(d'(x,y) := \varphi\bigl(d(x,y)\bigr)\) , що з, отримаємо новий метричний простір \((X,d’)\) .

\((Y,d_Y)\) Дозволяти \((X,d_X)\) і бути метричні пробіли.
а) Показати, що \((X \times Y,d)\) with \(d\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := d_X(x_1,x_2) + d_Y(y_1,y_2)\) – це метричний простір.
б) Показати, що \((X \times Y,d)\) with \(d\bigl( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \bigr) := \max \< d_X(x_1,x_2) , d_Y(y_1,y_2) \>\) – це метричний простір.

\(X\) Дозволяти бути набір безперервних функцій на \([0,1]\) . Нехай \(\varphi \colon [0,1] \to (0,\infty)\) буде безперервним. Визначити « \[d(f,g) := \int_0^1 \left\lvert \right\rvert\varphi(x)~dx .\] Показати», що \((X,d)\) є метричним простором.

\((X,d)\) Дозволяти бути метричний простір. Для непорожніх обмежених підмножин \(A\) і \(B\) нехай \[d(x,B) := \inf \ < d(x,b) : b \in B \>\qquad \text \qquad d(A,B) := \sup \ < d(a,B) : a \in A \>.\] Тепер визначте метрику Хаусдорфа як \[d_H(A,B) := \max \ < d(A,B) , d(B,A) \>.\] Примітка: \(d_H\) може бути визначена для довільних непорожніх підмножин, якщо ми дозволимо розширені реали.
а) \(Y \subset <\mathcal

>(X)\) Дозволяти бути множиною обмежених непорожніх підмножин. Показати, що \((Y,d_H)\) це метричний пробіл. b) Показати на прикладі, що \(d\) сам по собі не є метрикою. Тобто, не \(d\) завжди симетрична.

Автори та атрибуція