Тотожності Гріна Перша ідентичність Гріна є аналогом інтеграції частинами у вищих вимірах: ∫K(fΔg+∇f⋅∇g)dV=∫∂Kf∇g⋅→dS. Це є наслідком теореми Гауса (множина →v=f∇g). Друга тотожність Гріна є ∫K(fΔg−(Δf)g)dV=∫∂K(f∇g−g∇f)⋅→dS.
Теорема Гауса і Гріна стверджує, що чистий потік електричного поля в замкнутій фігурі завжди дорівнює загальній кількості заряду, укладеного поверхнею, і буде поділятися через діелектричну проникність середовища.
Використовуючи цю формулу, ми можемо записати теорему Гріна як ∫CF⋅ds=∬D(∂F2∂x−∂F1∂y)dA. Щоб переконатися, що теорема Гріна дає правильну відповідь, нам потрібно бути обережними, як ми орієнтуємо криву C. Правило правої руки говорить, що (curlF)⋅k відповідає кількості циркуляції в напрямку проти годинникової стрілки.
Електричне поле локально перпендикулярно еквіпотенціальній поверхні провідника і дорівнює нулю всередині; його потік πa2·E, за законом Гауса дорівнює πa2·σ/ε0. Таким чином, σ = ε0E.
Потік Φ електричного поля →E через будь-яку замкнуту поверхню S (поверхню Гауса) дорівнює сумарному замкнутому заряду (qenc), поділеному на діелектричну проникність вільного простору (ϵ0): Φ=∮S→E⋅ˆndA=qencϵ0.
Оцінка градієнта на основі вузлів Грін-Гауса [ 286]. Ця схема реконструює точні значення лінійної функції у вузлі з оточуючих клітинок-центрованих значень на довільних неструктурованих сітках шляхом вирішення проблеми мінімізації з обмеженнями, зберігаючи другий порядок просторової точності.
У векторному численні теорема розбіжності, також відома як теорема Гаусса або теорема Остроградського, є теорема, що зв'язує потік векторного поля через замкнуту поверхню з розбіжністю поля в обмеженому об'ємі.