§ 26. Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси

РІВНЯННЯ МЕНДЕЛЄЄВА — КЛАПЕЙРОНА. Стан газу певної маси повністю визначений, якщо відомі його тиск, температура і об’єм. Ці величини називають макроскопічними параметрами стану газу. У природі часто відбуваються процеси, коли одночасно змінюються всі три макроскопічні параметри газу.

Рівняння стану ідеального газу — рівняння, що встановлює зв’язок між його макроскопічними параметрами — р, V, Т.

Рівняння стану ідеального газу є узагальненням дослідних фактів. Його можна вивести з основного рівняння МКТ. Відомо, що p = nkT. Отже

Добуток відомих вам сталих: Авогадро N_A і Больцмана k є теж сталою величиною, яку називають універсальною (молярною) газовою сталою і позначають літерою R:

Обчислимо значення універсальної газової сталої:

Остаточно записуємо рівняння, яке містить лише макроскопічні характеристики газу і є наслідком основного рівняння МКТ. Його називають рівнянням стану ідеального газу або рівнянням Менделєєва — Клапейрона:

Рівняння Менделєєва — Клапейрона є загальним рівнянням стану ідеального газу будь-якого хімічного складу і довільної маси т. Єдина величина в ньому, що залежить від виду газу, — це молярна маса М.

Дмитро Менделєєв

Французький фізик Бенуа Клапейрон

РІВНЯННЯ КЛАПЕЙРОНА. Газ постійної маси може перебувати в різних станах із різними параметрами:

Праві частини обох виразів для газу незмінної маси однакові, а отже, можна прирівняти й ліві частини:

Рівняння стану ідеального газу у такому вигляді було записане в 1834 р. французьким фізиком Б. П. Клапейроном і отримало назву рівняння Клапейрона (об’єднаного газового закону).

Його фізичний зміст такий:

під час переходу газу незмінної маси з одного стану в інший добуток його тиску на об’єм, поділений на термодинамічну температуру, є величиною сталою.

Рівняння стану дає можливість визначити: один із макроскопічних параметрів (р, V, Т), знаючи два інші; зміну макроскопічних параметрів ідеального під час перебігу фізичних процесів у системі; зміну стану системи під час виконання нею роботи або отримання теплоти від навколишніх тіл.

Лише за тиску в сотні атмосфер та за температур зрідження газу (внаслідок значної сили взаємодії молекул) відхилення від результатів обчислень за рівнянням стану ідеального газу стають істотними.

ІЗОПРОЦЕСИ. Процесом у молекулярній фізиці називають перехід системи з одного стану в інший. Процеси, які відбуваються за незмінного значення одного з макроскопічних параметрів певного ідеального газу постійної маси m називають ізопроцесами (від грец. ізос — рівний, однаковий).

Ізопроцеси встановлюють залежності між двома макроскопічними параметрами газу, якщо третій — незмінний.

Кількісні залежності між двома параметрами газу за фіксованого значення третього називають газовим законом.

Оскільки жоден із параметрів газу не може бути строго фіксованим, то будь-який ізопроцес є дещо ідеалізованим.

Процес зміни стану термодинамічної системи за постійної температури називають ізотермічним (m = const, М = const, Т = const).

Якщо до ізотермічного процесу застосувати рівняння стану Клапейрона, то, з урахуванням незмінності температури, воно набуде вигляду:

Такий зв’язок між тиском та об’ємом газу певної маси було експериментально одержано англійським фізиком Р. Бойлем (1662 р.) ще до створення молекулярно-кінетичної теорії і незалежно від нього французьким фізиком Е. Маріоттом (1676 р.).

Для ідеального газу певної маси (незмінної кількості речовини) за постійної температури тиск газу добуток тиску на об’єм лишається не змінним.

Цей закон, як і інші газові закони, є наслідком рівняння стану ідеального газу й істинний для будь-яких газів, які можна вважати ідеальними, а також для їх сумішей (наприклад, повітря). З метою підтримання сталої температури газу потрібно, щоб він міг обмінюватися теплотою з великою системою — термостатом. Роль термостата може відігравати атмосферне повітря, якщо його температура помітно не змінюється впродовж перебігу процесу.

Мал. 26.1. Графіки ізотерми: а) у координатах pV, б) у координатах VT, в) у координатах рТ

На координатних площинах рТ і VT ізотерми зображуються прямими, перпендикулярними до осі температур (мал. 29.1, б, в). Ізотермічним можна вважати процес стиснення повітря компресором або розширення під поршнем насоса газу в результаті відкачування його з посудини (мал. 26.2).

Ізобарним (від грец. барос — вага) є процес, який відбувається за постійного тиску (m = const, Μ = const, p = const).

Мал. 26.2. Установка для перевірки закону Бойля — Маріотта

Цей закон установив експериментально у 1802 р. французький учений Гей-Люссак. Прикладом ізобарного процесу є нагрівання або охолодження газу в циліндрі під незакріпленим поршнем (мал. 26.3).

Мал. 26.3. Установка для перевірки закону Гей-Люссака

Виходячи з рівняння Клапейрона за умови постійного тиску одержимо

тобто об’єм газу лінійно залежить від температури за сталого тиску:

для ідеального газу певної маси за постійного тиску відношення його об’єму до температури залишається незмінним.

Експериментально перевірити цей закон можна за допомогою пристрою, що є в багатьох кабінетах фізики, — скляної колби із зігнутою трубкою. У горизонтальній частині трубки є крапля рідини, яка відокремлює газ у колбі від атмосферного повітря. Якщо підігріти колбу (можна й руками), то крапля рідини зміститься вправо, тобто об’єм газу, який міститься в колбі, збільшиться, а тиск залишиться рівним атмосферному.

Графік залежності об’єму ідеального газу від температури за постійного тиску є прямою лінією, яку називають ізобарою. На мал. 26.4, а) зображено дві ізобари в координатах VT за різних значень тиску р₁ i р₂ (p₁ < p₂). На мал. 26.4, б), та 26.4, в) наведено графіки ізобарного процесу в координатах рТ, pV, та VT.

Ізохорним процесом (від грец. хорема — місткість) є процес зміни стану термодинамічної системи за постійного об’єму (m = const, М = const, V = const).

Мал. 26.4. Графіки ізобари: а) у координатах VT; б) у координатах рТ; в) у координатах pV

З рівняння стану Клапейрона випливає, закон Шарля:

У 1787 р. цей газовий закон експериментально встановив французький фізик Ж. Шарль.

Графіком залежності тиску від температури за постійного об’єму є пряма лінія, яку називають ізохорою. На мал. 26.5, а) в координатах рТ зображено дві ізохори за різних значень об’єму V₁ та V₂, причому V₁ < V₂. На мал. 26.5, б) в наведено графіки процесу в координатах VT і pV.

Мал. 26.5. Графіки ізохорного процесу а) у координатах рТ; б), в координатах VT; в) у координатах рV

Газові закони і їх графічні ілюстрації дають змогу вивчати довільні термодинамічні процеси з ідеальним газом.

Головне в цьому параграфі

Між макроскопічними параметрами газу (тиск, об’єм, температура) існує зв’язок, який визначається рівнянням стану.

Запитання для самоперевірки

• 1. Що таке параметри стану системи? Які величини до них належать?
• 2. Виведіть рівняння Менделєєва — Клапейрона для довільної маси ідеального газу.
• 3. Виведіть рівняння Клапейрона. Як воно формулюється?
• 4. Чому дорівнює універсальна газова стала в СІ?
• 5. Який процес називають ізотермічним? Яким законом описується цей процес? Як формулюють і записують цей закон?
• 6. Зобразіть і поясніть графіки ізотермічного процесу.
• 7. Який процес називають ізобарним? Який закон описує ізобарний процес? Сформулюйте і запишіть цей закон?
• 8. Зобразіть і поясніть графіки ізобарного процесу.
• 9. Який процес називають ізохорним? Який закон описує ізохорний процес? Сформулюйте і запишіть цей закон?
• 10. Зобразіть і поясніть графіки ізохорного процесу.

Вправа до § 26

1(с). Яка з формул є рівнянням стану ідеального газу?

2(с). Продовжіть твердження: «Під час витікання газу з балона. »:

• А Зменшується його об’єм.
• Б Зменшується його тиск, оскільки зменшується концентрація молекул.
• В Збільшується його тиск, оскільки збільшується середня кінетична енергія руху молекул.
• Г Зменшується його температура, оскільки зменшується його маса.

3(д). На малюнку подано ізопроцес (мал. 1).

Малюнок. До задачі 3

Вкажіть, на якому з малюнків А—Д зображено цей же ізопроцес, але в інших координатах.

4(д). Вкажіть, як змінюється тиск газу під час ізохорного охолодження та чому це відбувається:

• А Збільшується, оскільки збільшується концентрація молекул газу.
• Б Зменшується, оскільки зменшується середня кінетична енергія молекул газу.
• В Збільшується, оскільки зменшується середня кінетична енергія молекул.
• Г Збільшується, оскільки зменшується об’єм газу.

5(д). При якій температурі середня кінетична енергія поступального руху молекул газу дорівнює 6,21 • 10 -21 Дж?

6(д). Яка кількість речовини міститься в газі, якщо при тиску 200 кПа і температурі 240 К його об’єм дорівнює 40 л?

7(д). Який тиск повітря, що перебуває в балоні місткістю 20 л при 12 °С, якщо маса цього повітря — 2 кг? Молярна маса повітря 0,029 кг/моль.

8(в). У гумовій кулі міститься 2 л повітря при температурі 20 °С і нормальному атмосферному тиску. Який об’єм займе повітря, якщо кулю занурити на 10 м у воду? Температура води становить 4 °С.

§ 39. Внутрішня енергія та робота ідеального газу

Внутрішня енергія. Ознайомимось із поняттям внутрішньої енергії U ідеального газу. У молекулярно-кінетичній теорії речовини внутрішня енергія макроскопічного тіла (термодинамічної системи) дорівнює сумі середньої кінетичної енергії теплового руху всіх молекул (атомів) і середньої потенціальної енергії їх взаємодії. Обчислити U через мікропараметри майже неможливо, тому використаємо макропараметри термодинамічної системи. (До того ж у практичних цілях важливіше знати не саму внутрішню енергію, а її зміну внаслідок зміни стану системи.) Середня кінетична енергія руху молекул пропорційна температурі, а середня потенціальна енергія взаємодії визначається відстанню між молекулами (тобто пропорційна об’єму тіла). Таким чином внутрішня енергія U є функцією макроскопічних параметрів, які можна виміряти — температури та об’єму: U = f(Т, V).

Обчислимо внутрішню енергію одноатомного ідеального газу. Оскільки молекули цього газу одна з одною не взаємодіють, то потенціальна енергія Е_п = 0. Уся внутрішня енергія складається з кінетичної енергії руху U = Е_к. За формулою Больцмана, середня енергія поступального руху одного атома

А оскільки кількість атомів

то внутрішня енергія одноатомного ідеального газу

Внутрішня енергія ідеального одноатомного газу пропорційна температурі й не залежить від об’єму та інших макропараметрів:

де m — маса всього газу, М — молярна маса, R — універсальна газова стала, Т — термодинамічна температура.

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу сталої маси

відбувається тільки в разі зміни його температури Т.

Ураховуючи молекулярну будову ідеальних газів, застосовують універсальну формулу для визначення внутрішньої енергії, обумовленої лише кінетичною енергією руху молекул:

де і — кількість ступенів свободи молекули.

Формула для визначення внутрішньої енергії ідеального газу залежить від кількості атомів у молекулі речовини (табл. 3).

У реальних газах, рідинах і твердих тілах середня потенціальна енергія взаємодії молекул не дорівнює нулю, тому їх внутрішня енергія залежить і від об’єму речовини, і від температури.

Перетворення внутрішньої енергії в механічну і навпаки. Як відомо, робота виконується, якщо тіло переміщується (коли всі його частини здійснюють рух під дією сили в одному напрямку). Внутрішня енергія — це енергія хаотичного руху молекул. Відповідно для того, щоб за рахунок внутрішньої енергії виконувалась робота, необхідно якимось чином досягти упорядкованого руху молекул. Для цього найбільш зручно використовувати циліндр із рухомим поршнем (мал. 187). Рухаючи поршень вниз або вгору, ми будемо стискати або розширювати газ, у результаті чого буде змінюватись його внутрішня енергія.

Пояснимо, чому змінюється внутрішня енергія газу, якщо змінюється його об’єм.

Під час руху поршня в циліндрі молекули газу внаслідок пружних зіткнень з рухомим поршнем змінюють свою кінетичну енергію. Якщо поршень рухається назустріч молекулам, він передає молекулам у момент зіткнень частину своєї механічної енергії. (Пригадайте, у механіці ми розглядали задачі на пружну взаємодію тіл і розв’язували їх, застосовуючи закони збереження імпульсу та енергії.) У результаті збільшується кінетична енергія руху молекул, а отже, і температура газу. Таким чином, механічна робота, яку виконує поршень, перетворюється у внутрішню енергію газу. Кажуть, що зовнішні сили виконують роботу А’.

Стиснутий газ, тиск якого більший за зовнішній, буде розширюватись. Молекули газу, що розширюється, зіткнувшись із поршнем, який віддаляється, зменшують свої швидкості, внаслідок чого газ охолоджується. Таким чином, газ виконує роботу А за рахунок зменшення своєї внутрішньої енергії.

Під час стискання або розширення змінюється й середня потенціальна енергія взаємодії молекул, оскільки при цьому змінюється середня відстань між ними.

Обчислення роботи газу. Виконання роботи в термодинаміці пов’язане зі зміною об’єму термодинамічної системи. Зручніше обчислити не А’ — роботу сили

що діє на газ з боку зовнішнього тіла (поршня), а А — роботу, яку виконує сам газ, діючи на поршень із силою

Згідно з третім законом Ньютона

Модуль сили, яка діє з боку газу на поршень, F = pS, де p — тиск газу, а S — площа поршня.

Мал. 18 7. До обчислення роботи газу під час: а — розширення; б — стискання

Нехай газ розширюється (мал. 187, а) і поршень пересувається в напрямку дії сили

на малу відстань Δh = h₂ – h₁. Якщо переміщення мале, то тиск газу можна вважати сталим (p = const). Робота газу A = FΔh = pS(h₂ – h₁) = p(Sh₂ – Sh₁). Оскільки Sh₁ = V₁ — початковий об’єм газу, а Sh₂ = V₂ — кінцевий, роботу газу можна записати через зміну об’єму газу: A = pΔV = p(V₂ – V₁).

Розширюючись, газ виконує додатну роботу, оскільки напрямок сили і напрямок переміщення поршня збігаються. Розширюючись, газ передає енергію навколишнім тілам.

Якщо газ стискається (мал. 187, б), тобто поршень пересувається у протилежному до сили

напрямку, то роботу газу визначають так само, але тепер А < 0, бо V₁ > V₂.

Робота А’, яку виконують зовнішні сили над газом, відрізняється від роботи газу А лише знаком: А’ = -А, оскільки

а переміщення поршня є тим самим. Робота зовнішніх сил, що діють на газ, дорівнює А’ = -А = -рΔV.

Під час стискання V₁ > V₂, тобто ΔV < 0, і робота зовнішніх сил додатна, А' >0, напрямки сили та переміщення збігаються. Виконуючи над газом додатну роботу, зовнішні тіла передають йому енергію. Під час розширення, навпаки, робота зовнішніх сил — від’ємна, адже тепер напрямки сили й переміщення є протилежними.

Робота ідеального газу під час ізобарного процесу:

Отримані вирази для обчислення роботи правильні не тільки для стискування чи розширення газу в циліндрі, а й за малої зміни об’єму будь-якої термодинамічної системи. Якщо ж процес ізобарний, ці формули можна застосовувати і для більших змін об’єму.

Графічний метод обчислення роботи. На малюнку 188 зображено процес ізобарного розширення газу в координатах р, V. Легко помітити, що для обчислення роботи газу достатньо визначити площу фігури під лінією графіка в цих координатах.

Мал. 188. Робота газу дорівнює площі прямокутника V₁ABV₂

Якщо процес ізохорний, робота термодинамічної системи A = 0, адже V = const.

Робота дорівнює площі фігури під графіком і для інших процесів, якщо вони зображені в координатах p, V. Наприклад, розглянемо графік ізотермічного процесу (мал. 189). ΔV відмінне від нуля, отже газ виконує роботу. Але формулу A = pΔV використовувати не можна, оскільки її виведено для сталого тиску, а в ізотермічному процесі тиск змінюється. Якщо ж взяти такий малий приріст об’єму ΔV, за якого зміною тиску можна знехтувати, то можна використовувати цю формулу. Таким чином, розбиваючи інтервал V₂ – V₁ на малі інтервали ΔV, можна на кожному з них обчислювати елементарну роботу ΔA. Повну роботу газу при ізотермічному процесі можна визначити як суму елементарних робіт ΔA. Це означає, що робота дорівнює площі фігури, обмеженої віссю абсцис, двома ординатами р₁ і р₂ та ізотермою.

Мал. 189. Графічне обчислення роботи газу в ізотермічному процесі

Можна довести, що робота газу за будь-якого процесу дорівнює площі фігури, обмеженої двома ординатами, віссю абсцис і графіком цього процесу в координатах р, V.

Обчислимо роботу газу, що виконується під час замкненого циклу (мал. 190). При переході 1 → 2 робота газу А _1-2 дорівнює площі 5 1 фігури, утвореної віссю абсцис, двома ординатами р₁ та р₂ та кривою 1-2. Ця робота додатна, оскільки об’єм газу збільшується. При переході 2 → 1 робота газу А_2-1 дорівнює площі S₂ фігури, утвореної віссю абсцис, двома ординатами р₁ і р₂ та кривою 2-1. Ця робота від’ємна, оскільки об’єм газу зменшується. Таким чином, робота газу за цикл дорівнює: А = А_1-2 – А_2-1 = S₁– S₂.

Мал. 190. Обчислення роботи замкненого циклу

Фізичний зміст універсальної газової сталої. Зміна об’єму за сталого тиску супроводжується зміною температури тіла. Якщо в циліндрі під поршнем (мал. 187) міститься ν = 1 моль ідеального газу, то робота під час його ізобарного нагрівання А_моль = рΔV_моль. Згідно з рівнянням Менделєєва — Клапейрона рΔV_моль = RΔТ або А_моль = RΔТ. З одержаної рівності видно, що за ΔТ = 1 К, R = А_моль. Отже, фізичний зміст універсальної газової сталої такий: універсальна газова стала R чисельно дорівнює роботі ізобарного розширення одного моля ідеального газу під час нагрівання його на 1 К.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Що розуміють під внутрішньою енергією тіла або термодинамічної системи?
• 2. Чим відрізняється внутрішня енергія реального газу від внутрішньої енергії ідеального газу й від яких параметрів вона залежить?
• 3. Моль якого газу — водню чи гелію — за однакової температури має більшу внутрішню енергію? Поясніть чому.
• 4. Наведіть приклад процесу, в якому газ при стисканні нагрівається.
• 5. Чи виконується робота у процесі ізобарного стиснення або розширення газу?
• 6. Чому дорівнює робота газу під час ізохорного процесу?
• 7. Поясніть, як графічно визначають роботу: ізобарного розширення газу; ізотермічного розширення газу.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Ідеальний газ масою m, який мав температуру Т, охолоджується ізохорно так, що його тиск зменшується в n разів. Потім газ розширюється під сталим тиском. У кінцевому стані температура газу дорівнює початковій. Визначте виконану газом роботу. Вважайте, що молярна маса газу відома й дорівнює М.

Задача 2. 4 молі газу здійснюють процес, зображений на малюнку 192, а. На якій ділянці робота газу максимальна?

1. Визначте внутрішню енергію U гелію, що заповнює аеростат об’ємом V = 60 м 3 за тиску p = 100 кПа.

2. У результаті зменшення об’єму одноатомного газу в 3,6 раза його тиск збільшився на 20 %. У скільки разів змінилася внутрішня енергія?

3. У циліндрі під поршнем міститься повітря. Під час досліду вдвічі збільшились і об’єм повітря, і його абсолютна температура, тиск газу при цьому не змінився (відбувалося протікання повітря внаслідок нещільного прилягання поршня до стінок циліндра). У скільки разів змінилася внутрішня енергія повітря (повітря вважати ідеальним газом)?

4. Який тиск одноатомного газу, що займає об’єм 2 л, якщо його внутрішня енергія дорівнює 300 Дж?

5. Обчисліть збільшення внутрішньої енергії 2 кг водню в результаті підвищення його температури на 10 K.

6. З одним молем гелію виконували дослід, під час якого середня квадратична швидкість руху атомів гелію збільшилась у 2 рази. За умовами досліду середня кінетична енергія атомів гелію залишалася пропорційною об’єму, який займає гелій. Визначте роботу, що виконує газ під час досліду. Вважайте гелій ідеальним газом, а значення середньої квадратичної швидкості руху молекул на початку досліду — 100 м/с.

7. З 2 молями ідеального газу здійснюють замкнений цикл (мал. 193). Яку роботу виконує газ, якщо

8. З певною кількістю ідеального газу здійснюють замкнений цикл 1 → 2 → 3 → 1 (мал. 194). Визначте, на яких стадіях процесу газ одержував, а на яких — віддавав енергію. Побудуйте графік процесу в координатах р, V.

9. З ідеальним газом проводять два цикли: 1 → 2 → 3 → 1 і 3 → 2 → 4 → 3 (мал. 195). У якому з них газ виконує більшу роботу?

10. У горизонтальному циліндрі з поршнем міститься 0,1 моль гелію. Поршень утримується затворами й може ковзати без тертя вздовж стінок циліндра. Кулька масою 10 г, що летить горизонтально зі швидкістю 400 м/с, потрапляє в поршень і застряє в ньому. Температура гелію в момент зупинки поршня зростає до 64 К. Визначте масу поршня. Вважайте, що за час руху поршня газ не встигає обмінятись теплом з поршнем і циліндром.

§ 37. Рівняння стану ідеального газу. Об’єднаний газовий закон

Рівняння стану ідеального газу. Універсальна газова стала. Як уже зазначалося, ідеальний газ є найпростішою термодинамічною системою. Стан газу певної маси повністю визначений, якщо відомі його тиск, температура та об’єм. Ці величини називають параметрами стану газу. Якщо ці параметри змінюються, то в газі відбувається той або інший процес. У природі часто протікають процеси, у яких одночасно змінюються всі три величини, що характеризують стан газу. Рівняння, що зв’язує параметри стану цього газу (р, V, Т), називають рівнянням стану ідеального газу.

Слід зазначити, що задовго до того, як рівняння стану ідеального газу було виведено на основі молекулярно-кінетичних уявлень, закономірності поведінки газів у різних умовах були досить добре досліджені експериментально. Саме тому рівняння стану ідеального газу можна розглядати як узагальнення експериментальних фактів, що знаходять своє пояснення в молекулярно-кінетичній теорії.

Нині рівняння стану ідеального газу легко можна вивести з основного рівняння МКТ. Урахувавши рівняння

одержимо ще один вираз основного рівняння МКТ газів:

де p — тиск газу, n — концентрація молекул ідеального газу, K — стала Больцмана, T — абсолютна температура газу. Далі,

Добуток сталої Авогадро N_А на сталу Больцмана k є також сталою величиною, яку називають універсальною (молярною) газовою сталою й позначають R = N_Аk. Підрахуємо значення універсальної газової сталої:

Отже, ми отримали з основного рівняння МКТ газів рівняння, яке містить тільки макроскопічні (термодинамічні) характеристики стану газу і яке називають рівнянням стану ідеального газу. Це рівняння ще називають рівнянням Менделєєва — Клапейрона:

Рівняння Менделєєва — Клапейрона дає змогу визначити один невідомий параметр стану ідеального газу, якщо інші параметри відомі, для газу будь-якого хімічного складу й довільної маси m. Єдина величина в цьому рівнянні, що залежить від виду газу, — це його молярна маса М.

Якщо врахувати, що густина газу

то рівняння Менделєєва — Клапейрона матиме вигляд

Для суміші газів рівняння набуває вигляду: pV = (ν₁ + ν₂ + . + ν_n) RT, де ν₁, ν₂, . — кількості речовини кожного з газів суміші.

Для одного моля (v = 1 моль) довільного газу це співвідношення набуває вигляду pV = RT.

Отже, виведене на підставі молекулярно-кінетичних уявлень рівняння підтверджує ще один встановлений експериментально закон. Якщо в це рівняння підставити значення тиску й температури, що відповідають нормальним умовам (T = 273,15 K (0 °С), p = 1 атм = 1,013 • 10 5 Па), то один моль будь-якого газу займає об’єм V₀ = 0,0224 м 3 . Це твердження називають законом Авогадро.

Лише за тиску в сотні атмосфер (коли виявляє себе об’єм молекул газу) і за температур, близьких до температур зрідження газу (внаслідок великої сили взаємодії молекул), відхилення від результатів розрахунків за рівнянням стану ідеального газу стають істотними.

Об’єднаний газовий закон. У природі часто відбуваються процеси, коли водночас змінюються всі три параметри стану газу, при цьому маса газу залишається незмінною (m = const). Якщо параметри на початку процесу, який відбувається з газом певної маси, позначити через p₁, V₁, T₁, а їх значення в кінці процесу — через p₂, V₂, T₂, то

Оскільки праві частини обох виразів однакові, однакові і їхні ліві частини. Отже, для газу незмінної маси:

— під час переходу газу незмінної маси з одного стану в інший добуток його тиску на об’єм, поділений на термодинамічну температуру газу, є величиною сталою.

Рівняння стану ідеального газу

виведене в 1834 р. французьким фізиком Бенуа Клапейроном (1799-1864), який протягом десяти років працював у Росії. У 1874 р. видатний російський учений Дмитро Менделєєв удосконалив формулу рівняння стану, ввівши макроскопічний параметр — масу газу. Саме тому рівняння

називають рівнянням Менделєєва — Клапейрона.

Співвідношення між значеннями тих чи інших параметрів на початку та в кінці процесу називається газовим законом. Рівняння Клапейрона

ще називають об’єднаним газовим законом.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Що таке параметри стану системи? Які величини до них належать?
• 2. Виведіть рівняння Менделєєва — Клапейрона для довільної маси ідеального газу.
• 3. Виведіть рівняння Клапейрона. Як формулюється об’єднаний газовий закон?
• 4. Чому дорівнює універсальна газова стала в СІ?
• 5. Чому дорівнює об’єм одного моля будь-якого газу за нормальних умов?

Приклади розв’язування задач

Задача. У приміщенні об’ємом V = 100 м 3 після роботи обігрівача температура повітря 1 збільшилася від t₁ = 17 °С до t₂ = 22 °С. Яка маса Δm повітря, що вийшло з кімнати? Атмосферний тиск p = 105 Па.

1 У цій і наступних задачах, якщо немає спеціальних застережень, повітря вважайте однорідним газом, молярна маса якого становить 0,029 кг/моль.

1. Визначте густину водню за температури 127 °С і тиску 830 кПа.

2. Який тиск стиснутого повітря, що міститься в балоні ємністю 20 л за 12 °С, якщо маса цього повітря 2 кг?

3. Густина деякої газоподібної речовини за температури 10 °С й нормального атмосферного тиску дорівнює 2,5 кг/м 3 . Визначте молярну масу цієї речовини.

4. Яка кількість речовини міститься в газі, якщо за температури 240 К і під тиском 200 кПа його об’єм дорівнює 40 л?

5. Газ за тиску 0,2 МПа і температури 15 °С має об’єм 5 л. Визначте об’єм цього газу за нормальних умов.

6. У балоні міститься газ, температура якого 15 °С. У скільки разів зменшиться тиск газу, якщо 40 % його вийде з балона, а температура при цьому зменшиться на 8 °С?

7. Пробірку, перевернуту догори дном, занурили у воду на деяку глибину. Яка концентрація повітря у пробірці на глибині 3 м? Температура води та повітря однакові й дорівнюють 20 °С. Атмосферний тиск 760 мм рт. ст.

8. Кулю із жорсткою оболонкою масою 11,6 г заповнили воднем. Об’єм водню — 10 л. Температура водню та повітря, що оточує кулю, — 0 °С. Визначте тиск водню в кулі, якщо результуюча піднімальна сила, яка діє на кулю, дорівнює нулю.

9. Повітряна куля об’ємом 2500 м 3 і масою оболонки 400 кг має внизу отвір, через який повітря в кулі нагрівається пальником. Визначте максимальну масу вантажу, який може підняти куля, якщо повітря в ній нагрівати до температури 77 °С. Температура навколишнього повітря 7 °С, його густина — 1,2 кг/м 3 . Оболонку кулі вважайте нерозтяжною.