Вектор: означення та основні поняття

Вектор початком якого є точка А, а кінцем – точка В, позначається AB (рис.1). Також вектори позначають однією маленькою літерою, наприклад a .

Довжина вектора

Означення. Довжина напрямленого відрізка визначає числове значення вектора і називається довжиною вектора або модулем вектора AB .

Для позначення довжини вектора використовують дві вертикальні лінії зліва і справа | AB |.

Нульовий вектор

Нульовий вектор зазвичай позначають як 0 .

Довжина нульового вектора дорівнює нулю.

Колінеарні вектори

Означення. Вектори, паралельні одній прямій або які лежать на одній прямій називають колінеарними векторами (рис. 2).

Співнаправлені вектори

Означення. Два колінеарних вектора a і b називаються Співнаправленими векторами, якщо їх напрямки співпадають: a ↑↑ b (рис. 3).

Протилежно направлені вектори

Означення. Два колінеарних вектора a і b називаються протилежно направленими векторами, якщо їх напрямок протилежний: a ↑↓ b (рис. 4).

Компланарні вектори

Означення. Вектори, паралельні одній площині або які лежать на одній площині називають компланарними векторами. (рис. 5).

Завжди можливо знайти площину паралельну двом довільним векторам, тому будь-які два вектора завжди компланарні.

Рівні вектора

Означення. Вектори a і b називаються рівними, якщо вони лежать на одній прямій або паралельних прямих, їх напрямки співпадають, а довжини рівні (рис. 6).

Тобто, два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співнаправлені та мають рівні довжини:

a = b , якщо a ↑↑ b і | a | = | b |.

Одиничний вектор

Означення. Одиничним вектором або ортом – називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Математика 5 клас

Якщо ви добре заточеним олівцем доторкнетеся до аркуша зошита, то залишиться слід, який дає уявлення про точку (рис. 3). Точки прийнято позначати великими латинськими буквами: А, В, С, D, … .

Відмітимо на аркуші паперу дві точки А і В. Ці точки можна сполучити всілякими лініями (рис. 4). А як сполучити точки А і В найкоротшою лінією? Це можна зробити за допомогою лінійки (рис. 5). Отриману лінію називають відрізком, а точки А і В — кінцями відрізка.

Точка і відрізок — приклади геометричних фігур.

Існує єдиний відрізок, кінцями якого є точки А і В. Тому відрізок позначають, записуючи точки, які є його кінцями. Наприклад, відрізок на рисунку 5 позначають одним із двох способів: АВ або ВА. Читають: «відрізок АВ» або «відрізок ВА».

На рисунку 6 зображено три відрізки. Довжина відрізка АВ дорівнює 1 см. Він уміщується у відрізку MN рівно три рази, а у відрізку EF — рівно чотири рази.

Будемо говорити, що довжина відрізка MN дорівнює З см, а довжина відрізка EF — 4 см.

Також прийнято говорити: «відрізок MN дорівнює 3 см», «відрізок EF дорівнює 4 см». Пишуть: MN = 3 см, EF = 4 см.

Довжини відрізків MN і EF ми вимірювали одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 см. Для вимірювання відрізків можна обрати й інші одиниці довжини, наприклад 1 мм, 1 дм, 1 км. На рисунку 7, а довжина відрізка РК дорівнює 17 мм. Його вимірювали одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 мм, за допомогою лінійки з поділками. Також за допомогою лінійки можна побудувати (накреслити) відрізок заданої довжини (рис. 7, б).

Узагалі, виміряти відрізок — це означає підрахувати, скільки одиничних відрізків у ньому міститься.

Довжина відрізка має таку властивість.

Якщо на відрізку АВ позначити точку С, то довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків АС і СВ (рис. 8).

На рисунку 9 зображено два відрізки АВ і CD. Ці відрізки при накладанні сумістяться.

Два відрізки називають рівними, якщо вони суміщаються при накладанні.

Отже, відрізки АВ і CD рівні.

Рівні відрізки мають рівні довжини.

Із двох нерівних відрізків більшим вважатимемо той, довжина якого більша. Наприклад, на рисунку 6 відрізок EF більший за відрізок MN.

Довжину відрізка АВ називають відстанню між точками А і В.

Якщо кілька відрізків розмістити так, як показано на рисунку 10, то утвориться геометрична фігура, яку називають ламаною. Зауважимо, що всі відрізки, зображені на рисунку 11, ламану не утворюють. Вважають, що відрізки утворюють ламану, якщо кінець першого відрізка суміщається з кінцем другого, а інший кінець другого відрізка — з кінцем третього і т. д.

Точки А, В, С, D, Е — вершини ламаної ABCDE (рис. 10), точки А і Е — кінці ламаної, а відрізки АВ, ВС, CD, DE — її ланки.

Довжиною ламаної називають суму довжин усіх її ланок.

На рисунку 12 зображено дві ламані, кінці яких суміщаються. Такі ламані називають замкненими.

ПРИКЛАД 1 Відрізок ВС на 3 см коротший від відрізка АВ, довжина якого дорівнює 8 см (рис. 13). Знайдіть довжину відрізка АС.

Розв’язання. Маємо: ВС = 8 – 3 = 5 (см). Скориставшись властивістю довжини відрізка, можна записати: АС = АВ + ВС. Звідси АС = 8 + 5 = 13 (см). Відповідь: 13 см.

Приклад 2. Відомо, що МК = 24 см, NP = 32 см, МР = 50 см (рис. 14). Знайдіть довжину відрізка NK.

Розв’язання. Маємо: MN = МР – NP.

1. Яке число більше за число 46 на 9? Яке число менше від числа 72 на 15? Яке число більше за число 21 у 7 разів? Яке число менше від числа 65 у 13 разів?

2. Назвіть усі двоцифрові числа, сума цифр яких дорівнює 6.

3. Назвіть усі двоцифрові числа, різниця цифр яких дорівнює 7.

4. Назвіть три послідовних натуральних числа, найменшим з яких є найбільше чотирицифрове число.

5. Назвіть три послідовних натуральних числа, найбільшим з яких є найменше чотирицифрове число.

2) 4 м 1 см; 4) 1 м 2 дм 5 см.

7. Виразіть у дециметрах і сантиметрах:

44.° Назвіть усі відрізки, зображені на рисунку 15.

45.° Запишіть усі відрізки, зображені на рисунку 16.

46.° Позначте в зошиті точки А, В, С і D та сполучіть їх попарно відрізками. Скільки відрізків утворилось? Скільки відрізків мають своїм кінцем точку А?

47.° Накресліть відрізки MN і АС так, щоб MN = 6 см 3 мм, АС = 5 см 3 мм.

48.° Накресліть відрізки EF і ВК так, щоб EF = 9 см 2 мм, ВК = 7 см 6 мм.

49.° Накресліть відрізок АВ, довжина якого дорівнює 8 см 9 мм. Позначте на ньому точку С так, щоб СВ = 3 см 4 мм. Обчисліть довжину відрізка АС.

50.° Накресліть відрізок ТР, довжина якого дорівнює 7 см 8 мм. Позначте на ньому точку Е так, щоб ТЕ = 2 см 6 мм. Обчисліть довжину відрізка ЕР.

51.° Порівняйте на око відрізки АВ и CD (рис. 17). Перевірте свій висновок вимірюванням.

52.° Знайдіть усі ламані, зображені на рисунку 11. Які з них мають найбільшу кількість ланок?

53.° Назвіть ланки ламаної, зображеної на рисунку 18, і виміряйте їх довжини (у міліметрах). Обчисліть довжину ламаної.

54.° Запишіть ланки ламаної, зображеної на рисунку 19, і виміряйте їх довжини (у міліметрах). Обчисліть довжину ламаної.

55.° Позначте у вузлі клітинок зошита точку А; точку В позначте на 4 клітинки лівіше і на 5 клітинок вище від точки А; точку С — на 3 клітинки правіше і на 1 клітинку вище від точки В; точку D — на 3 клітинки правіше і на 3 клітинки нижче від точки С; точку Е — на 1 клітинку правіше і на 2 клітинки нижче від точки D. Сполучіть послідовно відрізками точки А, В, С, D і Е. Яка фігура утворилася? Запишіть її назву та вкажіть кількість ланок.

56.° Обчисліть довжину ламаної ABCDE, якщо АВ = 8 см, ВС = 14 см, CD = 23 см, DE = 10 см.

57.° Обчисліть довжину ламаної MNKPEF, якщо MN = 42 мм, NK = 38 мм, КР = 19 мм, РЕ = 12 мм, EF = 29 мм.

58.° Накресліть у зошиті ламану, зображену на рисунку 20. Виміряйте довжини ланок (у міліметрах) і знайдіть довжину ламаної.

59.° Відомо, що відрізок SK у 3 рази більший за відрізок RS (рис. 21). Знайдіть довжину відрізка RK, якщо RS = 34 см.

60.° Відомо, що відрізок DB у 5 разів менший від відрізка AD (рис. 22). Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо AD = 135 см.

61.° Відомо, що АС = 32 см, ВС = 9 см, CD = 12 см (рис. 23). Знайдіть довжини відрізків АВ и BD.

62.° Відомо, що MF = 43 см, ME = 26 см, КЕ = 18 см (рис. 24). Знайдіть довжини відрізків МК и EF.

63.° Дано дві точки. Скільки можна провести відрізків, що сполучають ці точки? Скільки можна провести ламаних, що сполучають ці точки?

64.° Накресліть відрізок МК і позначте на ньому точки А і С. Запишіть усі відрізки, що утворилися.

65.° Довжина відрізка АВ дорівнює 28 см. Точки М і К належать цьому відрізку, причому точка К лежить між точками М і В, AM =12 см, ВК = 9 см. Знайдіть довжину відрізка МК.

66.° Точка С належить відрізку АВ, відрізок АС дорівнює 15 см, а відрізок АВ на 5 см більший за відрізок АС. Чому дорівнює довжина відрізка ВС? Чи є в умові задачі зайві лані?

67.° Відрізки МТ и FK рівні (рис. 25). Порівняйте відрізки MF і ТК.

так, щоб АС = 15 мм, CD = 24 мм, DM = 32 мм. Обчисліть довжину ламаної.

69.° Побудуйте ламану CEFK так, щоб ланка СЕ дорівнювала 8 мм, ланка EF була на 14 мм більша за ланку СЕ, а ланка FK — на 7 мм менша від ланки EF. Обчисліть довжину ламаної.

70.° Обчисліть довжини ламаних, зображених на рисунку 26.

71.° Відомо, що АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 2 см (рис. 27). Знайдіть довжину відрізка AD.

72.° Відомо, що MF 30 см, ME = 18 см, KF = 22 см (рис. 28). Знайдіть довжину відрізка КЕ.

73.° Відомо, що КР = PE = EF = FT = 2 см (рис. 29). Які ще рівні відрізки є на цьому рисунку? Знайдіть їх довжини.

74.°° На першому відрізку позначили сім точок так, що відстань між сусідніми точками дорівнює 3 см, а на другому — десять точок так, що відстань між сусідніми точками дорівнює 2 см. Відстань між якими крайніми з позначених точок більша: тими, що лежать на першому відрізку, чи тими, що лежать на другому?

75.° Відомо, що АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = МС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Знайдіть довжину відрізка QR.

76.° Яку найменшу кількість точок треба позначити на відрізках, зображених на рисунку 31, щоб на кожному з них, крім кінців відрізка, було по дві позначені точки?

77.° У Михайлика є лінійка, на шкалі якої позначено лише 0 см, 5 см і 13 см (рис. 32). Як, користуючись цією лінійкою, він зможе побудувати відрізок завдовжки: 1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?

1) 258 ∙ 75; 5) 104 ∙ 904; 9) 3328 : 52;

2) 280 ∙ 70; 6) 868 : 7; 10) 904 1 : 38;

3) 6409 ∙ 48; 7) 81 225 : 9; 11) 14 196 : 48;

4) 685 ∙ 293; 8) 896 : 28; 12) 37 592 : 74.

80. Видатний український педагог В. О. Сухомлинський (1918—1970) почав педагогічну діяльність у 1935 p., а з 1947 р. до кінця життя очолював Павлишську середню школу на Кіровоградщині. У якому віці Василь Олександрович почав учителювати? Скільки років він присвятив навчанню дітей? Скільки років В. О. Сухомлинський керував школою?

81. Дитячому садку подарували 4 ящики цукерок по 5 кг у кожному і 6 ящиків печива по 3 кг у кожному. На скільки кілограмів більше подаровано було цукерок, ніж печива?

82. На зиму Вінні-Пух заготовив 7 діжок меду по 12 кг у кожній і 8 діжок по 10 кг у кожній. Скільки всього кілограмів меду заготовив Вінні-Пух?

83. До магазину завезли 240 кг бананів і 156 кг апельсинів. Третину завезених фруктів продали першого дня, а решту — другого. Скільки кілограмів фруктів продали другого дня?

84. Барвінок зібрав у своєму саду 246 кг яблук і 354 кг груш. Шосту частину всіх фруктів Барвінок віддав друзям з дитячого садка, п’яту частину всіх фруктів — друзям зі школи, а решту — у лікарню. Скільки кілограмів фруктів віддав Барвінок у лікарню?

85. Укажіть найменше натуральне число, сума цифр якого дорівнює 101.

Від ліктів та долонь до метричної системи Для вимірювання довжини відрізка кожний учень вашого класу може на свій розсуд узяти за одиничний відрізок будь-якої довжини. Однак у цьому разі спільно користуватися результатами вимірювань буде досить складно. Набагато зручніше узгодити свій вибір, тобто вказати відрізок, яким вимірюватимуть усі. Приблизно так і виникли одиниці виміру довжини. Споконвіку люди користувалися такою природною мірою довжини, як крок. Багато народів застосовували як міру довжини дальність польоту стріли. Великі відстані вимірювали денними переходами. Також використовували «вимірювальні прилади», які були напохваті: п’ядь, лікоть, долоня, фут, дюйм, косовий сажень (рис. 33) тощо.

Зрозуміло, що такі «еталони» довжини зручні, але дуже неточні. Крім того, їх різноманітність та неузгодженість стояли на перешкоді у спілкуванні, розвитку торгівлі й виробництва. Так, у XVIII ст. майже кожне німецьке місто, більшість держав, що знаходилися на території сучасної Італії, вводили свої міри, які нерідко мали однакові назви, але не були рівними. У Франції дійшло навіть до того, що кожний феодал установлював у своїх володіннях власні міри.

У 1790 р. до Національних зборів Франції надійшла пропозиція про створення нової системи мір, і в 1791 р. було введено одиницю довжини — метр. Слово «метр» походить від грецького слова «метрон», що означає «міра». У 1799 р. виготовлено еталон метра у вигляді платинового стержня. Але тільки через 100 років метрична система мір зайняла в Європі міцні позиції.

Назви інших одиниць довжини, пов’язаних з метром, утворені за допомогою префіксів деци-, санти-, мілі-, що означає зменшення метра відповідно в 10, 100, 1000 разів. Наприклад, дециметр — десята частими метра, міліметр — тисячна частина метра. Префікс ifi.no означає збільшення в 1000 разів, тому кілометр дорівнює 1000 метрів.

Метрична система мір упроваджена практично в усьому світі, але панує вона не в усіх країнах. Наприклад, в Англії поряд з метричною системою досі користуються такими середньовічними мірами довжини, як миля, ярд, фут, дюйм. На стіні обсерваторії в Гринвічі зображено ці еталони довжин (рис. 34).

У 1889 р. зі сплаву платини та іридію було виготовлено більш точний міжнародний еталон метра (рис. 35). Він зберігається в Міжнародному бюро мір і ваги в передмісті Парижа Севрі.

Міри довжини

Відстані вимірюють різними одиницями довжини: великі відстані — більшими одиницями, а невеликі — меншими.

• Метр — основна одиниця довжини. Метр коротко позначається м, тобто 1 метр записується 1 м.
• Дециметр (дм) — десята частина метра.
• Сантиметр (см) — десята частина дециметра, або сота частина метра.
• Міліметр (мм) — десята частина сантиметра, або тисячна частина метра.

Довжину значної величини, зазвичай, записують у кілометрах, короткий запис — 1 км.

1 км = 1000 м = 10000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм.

Лінійка — найпростіший вимірювальний інструмент. Зазвичай лінійка має нанесені поділки, кратні тим одиницям вимірювання довжини (сантиметри, дюйми), які використовуються для вимірювання відстаней.

Співвідношення стародавніх мір довжини

Тривалий час на території України користувалися такими одиницями вимірювання довжини:

• 1 верста = 1,067 км;
• 1 сажень = 3 аршини = 2,134 м;
• 1 аршин = 16 вершків = 0,711 м = 71,1 см;
• 1 вершок = 4,445 см.

Деякі англійські міри довжини

• 1 миля (статутна) = 1760 ярдів = 5280 футів = 1609,344 м;
• 1 дюйм = 2,54 см;
• 1 фут = 12 дюймів = 0,3048 м;
• 1 ярд = 3 фути = 0,9144 м.

Конвертер довжини

1. Виберіть одиницю довжини з 1-го випадаючого списку і іншу з 2-го випадаючого списку.
2. Введіть число і клікніть на кнопку «Конвертувати».

Популярні статті