За визначенням
фундаментальна група πdR1(E×;b) є
фундаментальна група категорії Un(X;e), з волоконним функтором ω, що надсилає розшарування до стебла через базову точку b X (або для e, відповідне поняття «тангенціальна базова точка»). 13 березня 2017 р.
Фундаментальною групою є топологічний інваріант, який вимірює, наскільки добре зв'язаний простір. Для добре керованого топологічного простору існує простір, який називається універсальним покриттям, чия група перетворень колоди дає фундаментальну групу.
Фундаментальною групою є перша і найпростіша гомотопічна група. Фундаментальна група є гомотопічним інваріантом — топологічні простори, які є гомотопічно еквівалентними (або сильнішим випадком гомеоморфних), мають ізоморфні фундаментальні групи.
Фундаментальна група (X,x0), позначена як π1(X,x0), є група, базовим набором якої є петлі, з точністю до гомотопії, (таким чином, що дві гомотопні петлі відповідають одному і тому ж елементу в фундаментальній групі) з операцією композиції, заданою [f] · [g]=[f ? g] для циклів f,g : I → X.
Це за визначенням пляшка Кляйна.Усе це показує, що R2/G є гомеоморфною пляшці Клейна, а отже, фундаментальна група пляшки Клейна є Г. (n, m)(n/,m/)=(n + (−1)mn/, mm/).
У диференціальній геометрії фундаментальна теорема просторових кривих стверджує, що кожна регулярна крива в тривимірному просторі з відмінною від нуля кривизною має свою форму (і розмір або масштаб), повністю визначену її кривизною та крученням.
Теорема Ван Кампена може бути використана для обчислення фундаментальної групи простору в термінах простіших просторів, з яких він побудований. Якщо виконуються певні умови, теорема стверджує, що для X=⋃Aα X = ⋃ A α , π1(X)=∗απ1(Aα) π 1 ( X ) = ∗ α π 1 ( A α ) вільний добуток складові фундаментальні групи.