Ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
Ознаки подільності — це алгоритм, який дозволяє швидко визначити, чи є число кратним раніше заданому.
Ознаки подільності на 2
Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.
2, 8, 16, 24, 66, 150 — діляться на 2, так як остання цифра цих чисел парна;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не діляться на 2, так яка остання цифра цих чисел непарна.
Ознаки подільності на 3
Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.
75 — ділиться на 3, так як 7+5=12, і число 12 ділиться на 3 (12:3=4);
471 — ділиться на 3, так як 4+7+1=12, і число 12 ділиться на 3 (12:3=4);
532 — не ділиться на 3, так як 5+3+2=10, а число 10 не ділиться на 3 (10:3=3 1 3 ).
Ознаки подільності на 4
Число ділиться на 4 тоді и тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4.
4576 — ділиться на 4, так як число 76 ділиться на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);
9634 — не ділиться на 4, так як число 34 не ділиться на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).
Ознаки подільності на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює 0 або 5.
375, 5680, 233575 — діляться на 5, так як їх остання цифра дорівнює 0 або 5;
9634, 452, 389753 — не діляться на 5, так як їх остання цифра не дорівнює 0 або 5.
Ознаки подільності на 6
Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3.
462 — ділиться на 6, за ознакою подільності на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 2 ділиться на 2), за ознакою подільності на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);
3456 — ділиться на 6, за ознакою подільності на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 6 ділиться на 2), за ознакою подільності на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);
24642 — ділиться на 6, за ознакою подільності на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 2 ділиться на 2), за ознакою подільності на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);
861 — не ділиться на 6, так як за ознакою подільності воно не ділиться на 2;
3458 — не ділиться на 6, так як за ознакою подільності воно не ділиться на 3;
34681 — не ділиться на 6, так як за ознакою подільності воно не ділиться на 2.
Ознаки подільності на 9
Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
468, 4788, 69759 — діляться на 9, так як сума їх цифр ділиться на дев’ять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не діляться на 9, так як сума їх цифр не ділиться на дев’ять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Ознаки подільності на 10
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
460, 24000, 1245464570 — діляться на 10, так як остання цифра цих чисел дорівнює нулю;
234, 25048, 1230000003 — не діляться на 10, так як остання цифра цих чисел не дорівнює нулю.
Ознаки подільності на 11
Число ділиться на 11 якщо сума цифр, що стоять на парних місцях, дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних місцях або відрізняється від неї на число кратне 11.
2 4 2 — ділиться на 11, так як сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 2 + 2 = 4 ; сума цифр на парних позиціях S2n = 4 и S2n+1 = S2n .
3 1 9 — ділиться на 11, так як сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 3 + 9 = 12 ; сума цифр на парних позиціях S2n = 1 , а їх різниця S2n+1 – S2n = 11 – ділиться на 11.
9 1 9 3 8 0 — ділиться на 11, так як сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 9 + 9 + 8 = 26 ; сума цифр на парних позиціях S2n = 1 + 3 + 0 = 4 , а їх різниця S2n+1 – S2n = 22 – ділиться на 11.
2 8 3 8 — ділиться на 11, так як сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 2 + 3 = 5 ; сума цифр на парних позиціях S2n = 8+ 8 = 16 , а їх різниця S2n – S2n+1 = 11 – ділиться на 11.
2 4 4 — не ділиться на 11, так як сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 2 + 4 = 6 ; сума цифр на парних позиціях S2n = 4 та S2n+1 – S2n = 2 – не ділиться на 11.
Як довести що одне число ділиться на інше
Множники — це натуральні числа, які діляться на задане число точно без залишку. Іншими словами, якщо число є множником іншого числа, воно може рівномірно розділитися на нього. Наприклад, множники числа 12 — це 1, 2, 3, 4, 6 і 12, тому що всі ці числа діляться на 12 без залишку.
Щоб знайти множники числа, ви можете скористатися правилами подільності, які є набором швидких клавіш, які дозволяють швидко визначити, чи ділиться число на інше число. Наприклад, якщо число ділиться на 7, остання цифра має бути 7, 0 або кратною 7.
Окрім правила подільності на 7, існують також правила подільності для інших чисел, таких як 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 і 10. Ці правила можуть бути корисними, коли ви намагаєтеся знайти множники числа , оскільки вони дозволяють швидко усунути числа, які не є факторами.
Інші сфери інтересу, пов’язані з множниками, включають прості числа, тобто числа, які мають лише два множники (1 і себе), і складені числа, які містять більше двох множників.
Щоб знайти множники певного числа, ви можете скористатися онлайн-калькулятором множників або виконати обчислення вручну. Щоб скористатися калькулятором, просто введіть число, множники якого ви хочете знайти, і калькулятор надасть список усіх множників для цього числа.
2.2: Поняття поділу цілих чисел
Ділення – опис повторного віднімання.
У процесі поділу виникає занепокоєння, скільки разів одне число міститься в іншому числі. Наприклад, нас може зацікавити, скільки 5 містяться в 15. Слово раз є важливим, оскільки воно має на увазі зв’язок між поділом і множенням.
Існує кілька позначень, що використовуються для позначення поділу. Припустимо, \(Q\) записи кількість разів 5 міститься в 15. Ми можемо вказати на це, написавши
Кожне з цих позначень поділу описує одне і те ж число, представлене тут символом \(Q\) . Кожне позначення також перетворюється в одну і ту ж форму множення. Це \(15 = 5 \times Q\)
При діленні число, на яке ділиться, називається дивідендом.
При діленні число, що ділиться на дивіденд, є дільником.
При діленні результат ділення називається часткою.
Набір зразків A
Знайдіть наступні коефіцієнти, використовуючи множення фактів.
Рішення
З тих пір \(6 \times 3 = 18\) ,
Зауважте також, що
Таким чином, 6 міститься в 18 тричі.
Набір зразків A
Рішення
З тих пір \(3 \times 8 = 24\) ,
Зверніть увагу також, що 3 можна відняти рівно 8 разів від 24. Це означає, що 3 міститься в 24 вісім разів.
Набір зразків A
Рішення
З тих пір \(6 \times 6 = 36\) ,
Таким чином, існує 6 шісток в 36.
Набір зразків A
Рішення
З тих пір \(9 \times 8 = 72\) ,
Таким чином, налічується 8 дев’яток в 72.
Використовуйте факти множення, щоб визначити наступні коефіцієнти.
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Поділ на нуль (нуль як дивіденд: \(\dfrac\) , \(a \ne 0\) )
Давайте розглянемо, що відбувається, коли дивіденд (число, яке ділиться на) дорівнює нулю, а дільник (число, що робить ділення) – будь-яке ціле число, крім нуля. Питання в тому
Яке число, якщо воно є
Давайте представимо цей невідомий коефіцієнт по \(Q\) . Потім,
Перетворюючи цю задачу ділення в відповідну їй задачу множення, отримаємо
З наших знань про множення ми можемо зрозуміти, що якщо добуток двох цілих чисел дорівнює нулю, то одне або обидва цілих числа повинні дорівнювати нулю. Оскільки будь-яке ненульове ціле число, безумовно, не дорівнює нулю, \(Q\) має представляти нуль. Потім,
Тому нуль ділиться будь-яке ненульове ціле число дорівнює нулю.
Ділення на нуль (нуль як дільник: \(\dfrac, a \ne 0\) )
Тепер запитуємо: Яке число, якщо є
Дозволивши \(Q\) представляти можливий коефіцієнт, отримаємо
Конвертуючи у відповідну форму множення, ми маємо
Оскільки \(Q \times 0 = 0\) , (будь-яке ненульове ціле число) = 0. Але це абсурд. Це означало б \(6 = 0\) , що, або \(37 = 0\) . Ненульове ціле число не може дорівнювати 0! Таким чином,
не називає номер
Ділення на нуль є Невизначене
Ділення на нуль не називає число. Отже, це невизначено.
Поділ на нуль і на нуль (нуль як дивіденд і дільник: \(\frac\) )
Зараз нам цікаво нуль, розділений на нуль \((\dfrac)\) . Якщо ми дозволимо \(Q\) представляти потенційний коефіцієнт, ми отримаємо
Перетворення в форму множення,
Це призводить до
Це твердження, яке вірно незалежно від числа, використовуваного замість \(Q\) . Наприклад,
так як \(0 = 5 \times 0\) .
так як \(0 = 31 \times 0\) .
так як \(0 = 286 \times 0\) .
Унікальний коефіцієнт неможливо визначити.
Оскільки результат поділів вище непереконливий, ми говоримо, що \(\dfrac\) це невизначено.
Набір зразків B
Виконайте, по можливості, кожен поділ.
\(\dfrac\) . Оскільки ділення на 0 не називає ціле число, немає частки не існує, і ми \(\dfrac\) держава undefined
Набір зразків B
\(0\overline<)14>\) . Оскільки ділення на 0 не називає визначене число, немає частки не існує, і ми \(0\overline<)14>\) держава undefined
Набір зразків B
\(9\overline<)0>\) . Оскільки поділ на 0 будь-яким ненульовим цілим числом призводить до 0, ми маємо \(\begin \\ <9\overline<)0>> \end\)
Набір зразків B
\(\dfrac\) . Оскільки поділ на 0 будь-яким ненульовим цілим числом призводить до 0, ми маємо \(\dfrac = 0\)
Виконайте, по можливості, наступні поділи.
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Калькулятори
Розподіл також можна виконувати за допомогою калькулятора.
Набір зразків C
Розділіть 24 на 3.
Рішення
Дисплей тепер читає 8, і ми робимо висновок, що \(24 \div 3 = 8\) .
Набір зразків C
Розділіть 0 на 7.
Рішення
Дисплей тепер читає 0, і ми робимо висновок, що \(0 \div 7 = 0\) .
Набір зразків C
Розділіть 7 на 0.
Оскільки ділення на нуль не визначено, калькулятор повинен зареєструвати якесь повідомлення про помилку.
Рішення
| Дисплей Читає | ||
| Тип | 7 | 7 |
| Преса | \(\div\) | 7 |
| Тип | 0 | 0 |
| Преса | = | Помилка |
Повідомлення про помилку вказує на спробу невизначеної операції, в даному випадку поділу на нуль.
Використовуйте калькулятор для виконання кожного поділу.
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Відповідь
Повідомлення про помилку повідомляє нам, що ця операція не визначена. Конкретне повідомлення залежить від калькулятора.
Відповідь
Повідомлення про помилку повідомляє нам, що цю операцію неможливо виконати. Деякі калькулятори фактично встановлюють \(0 \div 0\) рівним 1. Ми знаємо краще! \(0 \div 0\) є індетермінантним.
Вправи
Для наступних завдань визначте коефіцієнти (якщо це можливо). Ви можете скористатися калькулятором для перевірки результату.
Відповідь