Як визначити довжину укосу

Знайти довжину дуги досить просто. Ви можете легко розрахувати довжину дуги за допомогою нашого калькулятора або слідуючи нашим інструкціям.

Що таке дуга в математиці?

Яка довжина дуги?

Як знайти довжину дуги?

Що таке вимірювання дуги?

Вимірювання дуги – це градусний вимір, який показує центральний кут дуги. Зазвичай він використовується для визначення окружності кола.

Як знайти вимірювання дуги?

Що таке центральний кут дуги?

Центральний кут дуги – це кут, вершина якого розташована в центрі кола, а кінцеві точки – по колу кола.

Що таке вписаний кут дуги?

Вписані кути визначаються як дуги, які знаходяться на колі і перетинають на ньому дугу. Вони вимірюються як половина міри перехопленої дуги та половина міри центрального кута, що перетинає ту саму дугу.

Яка різниця між другорядною і великою дугою?

Окружність кола можна розділити на дві частини, розрізавши його на дві частини. Частини кола називаються дугами.

Що таке напівкругла дуга?

Що таке перехоплена дуга?

Перехоплена дуга – це тип дуги, яка з’являється, коли пара ліній або акордів перетинає коло і зустрічається в певній точці.

Яка різниця між градусами та радіанами?

Ступінь і радіани – це різні одиниці вимірювання кута. Перший – це більш старий метод вимірювання кута, а другий – більш складний.

Радіан – одиниця плоскої кутової міри, яка дорівнює центру кола, поданого дугою, довжина якої дорівнює радіусу.

Градус – це одиниця виміру, яка показує кут між центром кола та його сторонами і дорівнює ¹/₃₆₀ окружності.

Джон – аспірант із захопленням математикою та освітою. У вільний час Джон любить піші прогулянки та їзду на велосипеді.

Калькулятор Довжини Дуги Для Кола Yкраїнський

Калькулятор Довжини Дуги Для Кола іншими мовами

Як додати Калькулятор Довжини Дуги Для Кола до свого веб -сайту?

Ви можете легко додати Калькулятор Довжини Дуги Для Кола на власний веб -сайт за допомогою нашого коду. Вставте код на свій веб -сайт, і калькулятор автоматично з’явиться на цьому місці!

Як додати віджет Калькулятор Довжини Дуги Для Кола на веб -сайт WordPress?

Швидко і легко додати Калькулятор Довжини Дуги Для Кола на свій веб -сайт Wordpres! Знайдіть сторінку, на яку потрібно додати калькулятор, перейдіть у режим редагування, натисніть «Текст» і вставте код туди.

Інші математичні калькулятори

Калькулятор векторних перехресних добутків знаходить перехресний добуток двох векторів у тривимірному просторі.

За допомогою нашого калькулятора трикутників 30 60 90 ви можете розв’язати спеціальний прямокутний трикутник.

Цей калькулятор очікуваних значень допомагає вам розрахувати очікуване значення (також зване середнє) даного набору змінних з їх імовірностями.

Цей науковий калькулятор забезпечує прості та вдосконалені математичні функції в простому у використанні додатку.

Цей безкоштовний калькулятор надає стандартне відхилення, дисперсію, середнє значення та суму заданого набору даних.

Цей відсотковий калькулятор – це безкоштовний онлайн-калькулятор для обчислення відсотків. Дізнайтеся, що становить X% Y?

За допомогою цього калькулятора вільних дробів можна знайти результат додавання, віднімання, множення та ділення двох загальних дробів.

Дізнайтеся правильні вимірювання для вашого улюбленого рецепта за допомогою цього безкоштовного калькулятора, який легко перетворює фунти в чашки! Працює з кубками США та Великобританії!

Використовуйте цей калькулятор вільного кола, щоб обчислити радіус кола, діаметр кола, окружність кола та площу кола.

Визначте подвійний еквівалент даного кута за допомогою цього безкоштовного калькулятора! Дізнайтеся більше про формулу подвійного кута.

Цей безкоштовний калькулятор обчислює другу, третю та вищу показники та корені. Формула також доступна.

Дізнайтесь площу трикутника легко за допомогою нашого безкоштовного калькулятора площі трикутника! Ви можете обчислити основу та висоту, три різні сторони та багато іншого. Працює з кутами та радіанами!

Дізнайтесь котермінальні кути за допомогою нашого калькулятора котермінальних кутів! Працює з градусами та радіанами, щоб виявити позитивні та негативні котермінальні кути!

Легко обчисліть математичні добутки, скалярні добутки та кути точкового добутку для ваших векторів.

За допомогою нашого калькулятора середніх точок легко дізнайтеся середні точки для прямої або трикутника! Ця сторінка також навчить вас цінній формулі середньої точки!

Легко дізнайтеся правильну кількість значущих цифр у вашому числі за допомогою нашого значного інструменту фігур!

Обчисліть оцінку балів легко за допомогою нашого безкоштовного онлайн -інструменту!

Розрахуйте будь -яке збільшення відсотка легко за допомогою нашого безкоштовного онлайн -калькулятора!

Розрахуйте різницю у відсотках миттєво за допомогою нашого математичного калькулятора відсотків відсотків!

Цей безкоштовний онлайн -калькулятор обчислює лінійну інтерполяцію та лінійну екстраполяцію. Він також забезпечує нахил лінійного рівняння.

Легко дізнайтесь ортонормальну матрицю та верхню трикутну матрицю за допомогою нашого безкоштовного онлайн -калькулятора розкладання QR!

Цей матричний калькулятор транспонування допоможе вам знайти транспонування для будь -якої матриці.

Легко визначте гіпотенузу для всіх видів трикутників за допомогою нашого безкоштовного математичного калькулятора!

Легко обчислюйте тригонометричні значення Sin, Cos, Tan, Cot, Sec і Csc за допомогою нашого безкоштовного онлайн-калькулятора!

Легко дізнайтеся праву сторону і кут трикутника за допомогою нашого безкоштовного онлайн-калькулятора!

Легко обчислюйте гіпотенузу, вимірювання та співвідношення за допомогою нашого калькулятора трикутника 45 45 90.

Легко обчислюйте множення матриці за допомогою нашого безкоштовного математичного калькулятора онлайн!

Легко обчисліть середнє середнє число за допомогою нашого безкоштовного онлайн-калькулятора математики

Цей інструмент генерує дійсно випадкове число між будь-якими двома числами.

Цей калькулятор обчислює похибку для опитувань на основі розміру вибірки та частки. Це також дозволяє встановити потрібний рівень впевненості.

Цей онлайн-інструмент обчислює кут між двома векторами та має всі можливі комбінації векторів.

Цей калькулятор допоможе вам знайти LCM або LCD для певного набору чисел.

Цей онлайн-калькулятор обчислює площу фігури, виміряну в футах. Працює з усіма формами та одиницями вимірювання!

Це онлайн-калькулятор, який може обчислювати показники.

Цей онлайн-інструмент обчислює залишок від ділення.

Легко обчислюйте прямі пропорції чисел за допомогою нашого безкоштовного калькулятора правила трьох.

Квадратні рівняння — це будь-яка поліноміальна алгебра другого ступеня, що має в алгебрі такий вигляд.

Цей калькулятор позначень підсумовування дозволяє швидко обчислити підсумовування набору числа, також відомого як Sigma. Тому його часто називають сигма-калькулятором. Він також дає вам зразок із серії, який представляє собою суму. Його можна використовувати в простому режимі для обчислення простої суми за допомогою заданого набору чисел.

Це безкоштовний онлайн-інструмент, який розраховує периметр різних фігур.

Це калькулятор, який обчислює z-показник набору даних.

Цей калькулятор Фібоначчі можна використовувати для обчислення умов послідовності Фібоначчі довільно.

Це безкоштовний калькулятор, який допоможе вам знайти об’єм будь-якої капсули.

Це безкоштовний калькулятор, який може допомогти вам знайти об’єм різних фігур.

Це безкоштовний калькулятор, який допоможе вам знайти об’єм будь-якої трикутної призми.

Це безкоштовний калькулятор, який допоможе вам знайти об’єм коробки.

Цей калькулятор обчислює об’єм конуса і може бути використаний для вирішення шкільних задач.

Це онлайн-інструмент, який обчислить об’єм будь-якого куба.

Це онлайн-інструмент, який розрахує об’єм циліндра.

Це онлайн-калькулятор, який допоможе вам розрахувати коефіцієнт розширення об’єкта.

Калькулятор індексу біорізноманіття Шеннона можна використовувати для обчислення різноманітності видів у спільноті. Екологи можуть використовувати індекс різноманітності Шеннона, щоб отримати корисну інформацію про середовище проживання.

Використовуйте цей онлайн-калькулятор теореми Байєса, щоб визначити ймовірність події, яка залежить від іншої. Цей розрахунок враховує попередню ймовірність A, ймовірності B умовні та A умовні та A умовні.

Антилогарифмічний калькулятор дозволяє обчислити функцію оберненого логарифма. Обчисліть антилогарифм для будь-якого числа з будь-якою основою, будь то 10, натуральний антилогарифм чи інше число.

Цей дивовижний інструмент дозволить вам обчислити e в степені будь-якого числа, яке ви виберете.

Цей калькулятор покаже вам, чи має число просте число, чи воно є складеним.

Калькулятор експоненціального зростання обчислює кінцеву ціну кількості на основі її початкових значень, швидкості зростання та часу.

Розрахуйте розмір вибірки на основі розміру сукупності, рівня довіри та похибки.

Цей онлайн-калькулятор відобразить обернений журнал введеного числа та основи.

Калькулятор розподілу Пуассона дозволить вам визначити ймовірність того, що подія відбудеться кілька разів протягом певного періоду часу.

Цей калькулятор допоможе вам знайти множину, обернену цілого, десяткового, дробу або змішаного числа.

Цей калькулятор перетворює контрольні бали у відсотки. Його можна використовувати для швидкого підрахунку відсотка однієї або кількох контрольних оцінок (балок), а також максимальної кількості балів.

Цей калькулятор можна використовувати для визначення розмірів зображень, коли ви їх змінюєте.

Калькулятор емпіричних правил, також відомий як «розрахунок за правилом 68 95 99», — це інструмент, який дозволяє визначати діапазони, що становлять 1 або 2 стандартні відхилення або 3 стандартні відхилення. Цей калькулятор покаже вам діапазони, в яких 68, 95 або 99,7% нормально розподілених даних відповідно.

Цей неймовірний інструмент дозволить вам знайти p-value. Ви можете використовувати тестову статистику, щоб визначити, яке значення p є одностороннім, а яке двостороннім.

Це безкоштовний калькулятор, який допоможе вам знайти об’єм кулі.

Цей онлайн-калькулятор дозволить вам розрахувати NPV (чисту приведену вартість) інвестицій. Розрахунок базується на початковій інвестиції та ставці дисконту. Ви також можете розрахувати внутрішні норми прибутку (IRR), валовий прибуток і чисті грошові потоки.

Скористайтеся цим калькулятором, щоб дізнатися, як зменшення відсотка на будь-яку величину змінить результат. Просто введіть початкове значення, відсоток зменшення та нове значення, щоб обчислити зміну.

Наш інтуїтивно зрозумілий інструмент дозволяє вибирати з різних форм і миттєво обчислює їхню площу.

Калькулятор ймовірності дозволяє досліджувати зв’язки ймовірності між двома окремими подіями. Це дає змогу краще зрозуміти зв’язок подій і робить прогнози точнішими.

Використовуйте наш калькулятор дробу в десятковий, щоб легко перетворити дроби на десятковий і назад!

Дізнайтеся множники будь-якого числа за допомогою нашого калькулятора множників

Перетворіть дріб у калькулятор змішаних чисел за допомогою нашого простого інструменту

Ми створюємо безкоштовні онлайн -калькулятори та конвертери для навчання та розваг. Обчисліть, перетворіть і порахуйте за допомогою наших калькуляторів!

9.8: Довжина дуги та кривизна

Враховуючи просторову криву, можна задати два природних геометричних питання: скільки довга крива і скільки вона згинається? У цьому розділі ми відповімо на обидва питання, розробляючи методи вимірювання довжини просторової кривої, а також її кривизни.

Попередній перегляд Активність 9.8.1

У попередніх дослідженнях ми використовували інтеграцію для розрахунку таких величин, як площа, об’єм, маса та робота. Зараз ми зацікавлені у визначенні довжини просторової кривої.

Розглянемо плавну криву в 3-му просторі, визначену векторно-значною функцією \(\mathbf\text\) , де

\[ \mathbf(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle = \langle \cos(t), \sin(t), t \rangle \nonumber \]

бо \(t\) в інтервалі \([0,2\pi]\text<.>\) Картинки графіка \(\mathbf\) наведені на малюнку 9.8.1. Ми будемо використовувати процес інтеграції для обчислення довжини цієї кривої. У цій ситуації ми розділимо інтервал \([0,2\pi]\) на \(n\) підінтервали рівної довжини і \(0 = t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n = b\) нехай є кінцевими точками підінтервалів. Потім ми наближаємо довжину кривої на кожному підінтервалі з деякою пов’язаною величиною, яку ми можемо обчислити. В цьому випадку наближаємо довжину кривої на кожному підінтервалі з довжиною відрізка, що з’єднує кінцеві точки. Малюнок 9.8.1 ілюструє процес у трьох різних випадках, використовуючи зростаючі значення \(n\text<.>\)

1. Напишіть формулу довжини відрізка лінії, що з’єднує кінцеві точки кривої на \(i\) -му підінтервалі \([t_,t_i]\text\) (Ця довжина – наше наближення довжини кривої на цьому інтервалі.)
2. Використовуйте формулу в частині (a), щоб записати суму, яка додає всі наближення до довжин на кожному підінтервалі.
3. Що нам потрібно зробити з сумою в частині (b), щоб отримати точне значення довжини графа \(\mathbf(t)\) на інтервалі \([0,2\pi]\text\)

9.8.1 Довжина дуги

Розглянемо плавну криву в 3-просторі, яка параметрично описується векторно-значною функцією, \(\mathbf\) визначеною \(\mathbf(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle.\) Preview Activity 9.8.1 показує, що для наближення довжини кривої, визначеної \(\mathbf(t)\) як значення \(t\) пробігу через інтервал, \([a,b]\text\) ми розділимо інтервал \([a,b]\) на \(n\) підінтервали рівної довжини \(\Delta t\text\) з \(a = t_0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_n = b\) кінцевими точками підінтервалів. На кожному підінтервалі наближаємо довжину кривої на довжину відрізка лінії, що з’єднує кінцеві точки. Точки на кривій, відповідні \(t = t_\) і \(t = t_i\) є \((x(t_), y(t_), z(t_))\) і \((x(t_i), y(t_i), z(t_i))\text\) відповідно, тому довжина відрізка лінії, що з’єднує ці точки, дорівнює

Тепер ми складаємо всі ці наближення разом, щоб отримати наближення до довжини \(L\) кривої:

Тепер ми хочемо взяти межу цієї суми, як \(n\) йде до нескінченності, але в її теперішньому вигляді може бути важко зрозуміти, як. Спочатку вводимо \(\Delta t\) , множивши на \(\frac\text\) і бачимо, що

Щоб отримати відмінні частки під радикалом, ми використовуємо властивості функції квадратного кореня, щоб побачити далі, що

Нагадаємо, що \(\Delta t \to 0\text<.>\) як у \(n \to \infty\) нас також є

ми можемо переписати нашу формулу довжини дуги в більш стислій формі наступним чином.

Довжина кривої

Якщо \(\mathbf(t)\) визначає плавну криву \(C\) на інтервалі, \([a,b]\text\) то \(L\) довжина \(C\) задається

Зверніть увагу, що формула (9.8.1) застосовується до кривих в будь-якому розмірному просторі. Більш того, ця формула має природну інтерпретацію: якщо \(\mathbf(t)\) фіксує положення рухомого об’єкта, то \(\mathbf'(t)\) це швидкість об’єкта і \(|\mathbf'(t)|\) його швидкість. Формула (9.8.1) говорить, що ми просто інтегруємо швидкість об’єкта, що рухається по кривій, щоб знайти відстань, пройдену об’єктом, яка така ж, як довжина кривої, так само, як і в обчисленні з однією змінною.

Активність 9.8.2

Тут обчислюємо довжину дуги двох знайомих кривих.

1. Використовуйте рівняння (9.8.1) для обчислення окружності радіуса \(r\text\)
2. Знайти точну довжину спіралі, визначену \(\mathbf(t) = \langle \cos(t), \sin(t), t \rangle\) на інтервалі \([0,2\pi]\text\)

Ми можемо адаптувати формулу довжини дуги до кривих у 2-просторі, які визначають \(y\) як функцію \(x\) , як показує наступна діяльність.

Активність 9.8.3

Дозвольте \(y = f(x)\) визначити плавну криву в 2-просторі. Параметризуйте цю криву та використовуйте Рівняння (9.8.1), щоб показати, що довжина кривої, визначеної \(f\) на інтервалі, \([a,b]\) дорівнює

9.8.2 Параметризація щодо довжини дуги

Окрім того, що допомагає нам знайти довжину просторових кривих, вираз для довжини кривої дозволяє нам знайти природну параметризацію космічних кривих з точки зору довжини дуги, як ми зараз пояснюємо.

Показано нижче на малюнку 9.8.2 є частиною параболи \(y = x^2/2\text<.>\) Звичайно, ця просторова крива може бути параметризована векторно-значною функцією, \(\mathbf\) визначеною \(\mathbf(t) = \langle t, t^2/2\rangle\) як показано зліва, де ми бачимо розташування в кілька різних разів \(t\text<.>\) Зверніть увагу, що точки не однаково розташовані на кривій.

Більш природним параметром, що описує точки вздовж космічної кривої, є відстань \(s\) , пройдена, коли ми рухаємося вздовж параболи, починаючи з початку. Наприклад, у правій частині малюнка 9.8.2 показані точки, що відповідають різним значенням \(s\text<.>\) Ми називаємо це параметризацією довжини дуги.

Малюнок 9.8.2. Параметризація \(\mathbf(t)\) (зліва) і репараметризація по довжині дуги.

Щоб побачити, що це більш природна параметризація, розглянемо міждержавну магістраль, що перетинає державу. Один із способів параметризації кривої, визначеної шосе, полягає в тому, щоб їхати по шосе і записувати нашу позицію кожного разу, створюючи таким чином функцію \(\mathbf\text<.>\) Якщо ми стикаємося з аварією або дорожнім будівництвом, однак ця параметризація може бути зовсім не актуальною для іншої людини, яка рухається тим самим шосе. Параметризація довжини дуги, однак, схожа на використання міль маркерів на узбіччі дороги, щоб вказати наше положення на шосе. Якщо ми знаємо, як далеко ми проїхали по шосе, ми точно знаємо, де ми знаходимося.

Якщо ми почнемо з параметризації просторової кривої, ми можемо змінити її, щоб знайти параметризацію довжини дуги, як ми зараз описуємо. Припустимо, що крива параметризується векторно-значною функцією, \(\mathbf = \mathbf(t)\) де \(t\) знаходиться в інтервалі \([a,b]\text<.>\) Визначаємо параметр \(s\) через функцію

яка вимірює довжину по кривій від \(\mathbf(a)\) до \(\mathbf(t)\text<.>\)

Фундаментальна теорема обчислення показує нам, що

Якщо припустити, що ніколи не \(\mathbf'(t)\) дорівнює 0, то \(L'(t) > 0\) для всіх \(t\) і \(s=L(t)\) завжди збільшується. Це повинно здатися розумним: якщо ми не зупинимося, відстань, пройдена по кривій, збільшується в міру просування по кривій.

Оскільки \(s=L(t)\) це зростаюча функція, вона є оборотною, що означає, що ми можемо розглядати час \(t\) як функцію пройденої відстані; тобто ми маємо зв’язок \(t=L^(s)\text<.>\) Ми потім отримуємо параметризацію довжини дуги, складаючи \(\mathbf(t)\) з \(t=L^(s)\) для отримання \(\mathbf(s)\text<.>\) Давайте проілюструйте це на прикладі.

Приклад 9.8.3

Розглянемо коло радіуса \(5\) в 2-просторі з центром у початковому місці. Ми знаємо, що ми можемо параметризувати це коло як

де \(t\) працює від 0 до \(2\pi\text<.>\) Ми бачимо, що \(\mathbf'(t) = \langle -5\sin(t), 5\cos(t) \rangle\text\) і, отже, з \(|\mathbf'(t)| = 5\text<.>\) цього випливає, що

Оскільки \(s=L(t) = 5t\text\) ми можемо вирішити for з \(t\) точки зору \(s\) отримання \(t(s)=L^(s) = s/5\text<.>\) Ми тоді знаходимо параметризацію довжини дуги шляхом складання

\[ \mathbf(t(s))=\mathbf(L^(s)) = \left\langle 5\cos\left(\frac s5\right), 5\sin\left(\frac s5\right)\right\rangle. \nonumber \]

Більш загально, для кола радіуса, \(a\) зосередженого на початку, подібне обчислення показує, що

параметризація довжини дуги.

Зверніть увагу, що рівняння (9.8.2) показує, що

що означає, що ми рухаємося по кривій з одиничною швидкістю, коли ми параметризуємо по довжині дуги. Це добре видно в прикладі 9.8.3 де \(|\mathbf'(s)| = 1\text<.>\) Випливає, що параметр \(s\) – це відстань, пройдена по кривій, як показано:

Активність 9.8.4

У цій діяльності ми параметризуємо лінію у 2-му просторі за довжиною дуги. Розглянемо рядок з параметричними рівняннями

Трохи більш складним прикладом є наступний.

Приклад 9.8.4

Давайте параметризуємо криву, визначену

для з \(t \geq 0\) точки зору довжини дуги. Для написання \(t\) в терміні \(s\) знаходимо \(s\) в терміні \(t\text\)

\ почати s (t) & =\ int_ ^t\ sqrt <(x' (w)) ^2 + (y' (w)) ^2 + (z' (w)) ^2>\, дв\\ [4пт] & =\ int_0^t\ sqrt ) ^ 2 + (4w^ ) ^2 + (4) ^2>\, dw\\ [4pt] & =\ int_0^t\ sqrt \, dw\\ [4pt] & = 2\ int_0^t\ sqrt \, dw\\ [4pt] & = 2\ int_0^t w+2\, dw\\ [4pt] & =\ ліворуч (ш ^ 2+4w\ праворуч)\ бігм|_ ^ \\ [4pt] & = t^2+4t. \ end

Оскільки \(t \geq 0\text\) ми можемо вирішити рівняння \(s = t^2+4t\) (або \(t^2+4t-s=0\) ) для \(t\) отримання \(t = \frac> = -2 + \sqrt\text<.>\) Таким чином, ми можемо параметризувати нашу криву з точки зору довжини дуги на

\[ \mathbf(s) = \left\langle \left(-2 + \sqrt\right)^2, \frac\left(-2 + \sqrt\right)^, 4\left(-2 + \sqrt\right) \right\rangle. \nonumber \]

Ці приклади ілюструють загальний метод. Звичайно, оцінити інтеграл довжини дуги та знайти формулу для зворотної функції може бути важко, тому, хоча цей процес теоретично можливий, не завжди практично параметризувати криву з точки зору довжини дуги. Однак ми можемо гарантувати, що така параметризація існує, і це спостереження відіграє важливу роль в наступному розділі.

9.8.3 Кривизна

Для плавної кривої простору кривизна вимірює, наскільки швидко крива згинається або змінює напрямок в заданій точці. Наприклад, ми очікуємо, що лінія повинна мати нульову кривизну скрізь, тоді як коло (яке згинається однаково в кожній точці) має мати постійну кривизну. Кола з більшими радіусами повинні мати менші викривлення.

Щоб виміряти кривизну, спочатку потрібно описати напрямок кривої в точці. Ми можемо зробити це, використовуючи безперервно мінливий дотичний вектор до кривої, як показано зліва на малюнку 9.8.5. Напрямок кривої потім визначається кутом, який \(\phi\) кожен тангенс вектор робить з горизонтальним вектором, як показано праворуч на малюнку 9.8.5.

Неофіційно кажучи, кривизна буде швидкістю, з якою \(\phi\) змінюється кут, коли ми рухаємося по кривій. Звичайно, ця швидкість змін буде залежати від того, як ми рухаємося по кривій; якщо ми рухаємося з більшою швидкістю по кривій, то \(\phi\) буде змінюватися швидше. Ось чому обмеження швидкості іноді знижується, коли ми входимо в криву на шосе. Іншими словами, швидкість зміни \(\phi\) буде залежати від параметризації, яку ми використовуємо для опису космічної кривої. Щоб усунути цю залежність від параметризації, ми вирішили працювати з параметризацією довжини дуги, \(\mathbf(s)\text\) що означає, що ми рухаємося по кривій з одиничною швидкістю.

Використовуючи параметризацію довжини дуги, \(\mathbf(s)\text\) ми визначаємо тангенс вектор \(\mathbf(s) = \mathbf'(s)\text\) і зауважимо, \(|\mathbf(s)| = 1\text\) \(\mathbf(s)\) що тобто є одиничним дотичним вектором. Тоді ми маємо, \(\mathbf(s) = \langle \cos (\phi(s)), \sin(\phi(s)) \rangle\text\) що означає, що

\[ \frac> = \left\langle -\sin(\phi(s)) \frac, ~ \cos(\phi(s)) \frac \right\rangle = \langle -\sin(\phi(s)),~ \cos(\phi(s)) \rangle \frac. \nonumber \]

\[ \left|\frac>\right| = \left|\langle -\sin(\phi(s)),~ \cos(\phi(s)) \rangle\right| ~\left|\frac\right| = \left|\frac\right| \nonumber \]

Це спостереження змушує нас прийняти наступне визначення.

Визначення 9.8.6

Якщо \(C\) є плавною просторовою кривою і \(s\) є параметром довжини дуги для \(C\text\) тоді , \(\kappa\text\) of \(C\) is

\[ \kappa = \kappa(s) = \left\lvert \frac> \right\rvert. \nonumber \]

Зверніть увагу, що \(\kappa\) це грецька мала буква «каппа».

Активність 9.8.5

1. Слід очікувати, що кривизна прямої дорівнює 0 скрізь. Щоб показати, що наше визначення кривизни вимірює це правильно у 2-просторі, нагадаємо, що (9.8.4) дає нам параметризацію довжини дуги

Визначення кривизни спирається на нашу здатність параметризувати криві з точки зору довжини дуги. Оскільки ми бачили, що знайти параметризацію довжини дуги може бути важким, ми хотіли б мати можливість висловити кривизну з точки зору більш загальної параметризації \(\mathbf(t)\text<.>\)

Для початку нам потрібно описати вектор, \(\mathbf\text\) який є дотичною до кривої, що має одиничну довжину. Звичайно, вектор швидкості \(\mathbf'(t)\) дотичний до кривої; нам просто потрібно нормалізувати його довжину, щоб бути єдиною. Це означає, що ми можемо взяти

Тоді кривизна кривої, визначеної \(\mathbf\) є

\ почати \ каппа & =\ ліворуч\ lvert\ frac > \ вправо\ реверт\ [4pt] & =\ ліворуч\ lvert\ frac > \ правий\ реверт\\ [4pt] &\ frac <\ ліворуч\ lvert\ frac > \ вправо\ реверт> <\ ліворуч\ lvert\ frac \ праворуч\ rvert>\ [4pt] & =\ frac ‘ (t)\ вправо\ реверт> ‘(t)\ праворуч\ rvert>. \ end

Ця остання формула дозволяє використовувати будь-яку параметризацію кривої для обчислення її кривизни. Є ще одна корисна формула, наведена нижче, виведення якої залишається для вправ.

Формули для кривизни

Якщо \(\mathbf\) є векторно-значною функцією, що визначає плавну просторову криву, \(C\text\) а якщо не \(\mathbf'(t)\) дорівнює нулю, а якщо \(\mathbf”(t)\) існує, то \(\kappa\) кривизна \(C\) задовольняє

• \(\displaystyle \kappa = \kappa(t) = \frac<\left\lvert \mathbf‘(t) \right\rvert>< \left\lvert \mathbf'(t) \right\rvert>\)
• \(\kappa = \frac<\lvert \mathbf'(t) \times \mathbf''(t) \rvert><\lvert \mathbf'(t) \rvert^3>\text\)

Активність 9.8.6

Використовуйте одну з двох формул для з \(\kappa\) точки зору, \(t\) щоб допомогти вам відповісти на наступні питання.

Кривизна має інше тлумачення. Нагадаємо, що дотична лінія до кривої в точці – це лінія, яка найкраще наближає криву в цій точці. Кривизна в точці кривої описує коло, яке найкраще наближає криву в цій точці. Пам’ятаючи, що коло радіуса \(a\) має кривизну, \(1/a\text\) то коло, яке найкраще наближає криву біля точки кривої, кривизна якої \(\kappa\) має радіус \(1/\kappa\) і буде дотичною до дотичної лінії в цій точці і має свій центр на увігнутій стороні кривої. Ця окружність, звана оскулюючий окружністю кривої в точці, показана на малюнку 9.8.7 для частини параболи.

Малюнок 9.8.7. Окуляційний коло

9.8.4 Резюме

• Процес інтеграції показує, що довжина \(L\) гладкої кривої, визначеної \(\mathbf(t)\) на інтервалі \([a,b]\) , дорівнює