Теорема косинусів: вивчення формули, наслідки та застосування в прикладах

У світі геометрії і тригонометрії є безліч теорем, які допомагають нам розуміти й вирішувати складні задачі. Одна з них – теорема косинусів, яка має широке застосування в різних областях. У цій статті ми детально розглянемо формулу теореми косинусів, наслідки її застосування та приведемо кілька прикладів, щоб краще зрозуміти, як вона працює.

1. Що таке теорема косинусів?
2. Формула теореми косинусів.
3. Доведення теореми косинусів.
   • доведення теореми косинусів для трикутників з гострим кутом α;
   • доведення теореми косинусів для трикутників з тупим кутом α;
   • доведення теореми косинусів для трикутників з прямим кутом α.
4. Наслідки теореми косинусів.
   • визначення кутів з використанням теореми косинусів;
   • виявлення виду трикутника за допомогою теореми косинусів;
   • паралелограм та теорема косинусів;
   • обчислення медіани за формулою теореми косинусів.
5. Застосування теореми косинусів в прикладах.
6. Блок-схема алгоритму знаходження сторони трикутника за допомогою теореми косинусів.

Що таке теорема косинусів?

Теорема косинусів є математичним твердженням яке дозволяє виразити довжину будь-якої сторони трикутника через довжини двох інших його сторін і косинус кута між ними.

Наприклад, довжину сторони BC трикутника ABC можна виразити через довжини сторін AB та AC і cos(α). Теорему косинусів можна назвати самою «використовуваною» в геометрії. Вона має численні наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні задач.

Формула теореми косинусів.

Теорема косинусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Математично це можна записати наступним чином:

Зазначимо, що кожна з цих формул дозволяє розрахувати довжину будь-якої сторони трикутника або визначити значення кута, використовуючи відомі значення інших сторін та кута між ними.

Доведення теореми косинусів.

Для доведення теореми косинусів, розглянемо трикутник ABC для якого ∠A=α і BC – протилежна йому сторона. Зазначимо, що кут α може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадків.

Доведення теореми косинусів для трикутників з гострим кутом α:

Проведемо висоту BD до сторони AC трикутника ABC. Тоді, відповідно до визначень синуса і косинуса кута прямокутного трикутника, справедливі наступні рівності: BD=AB·sin(α), AD=AB·cos(α), DC=AC-AB·cos(α).

Розглянемо далі прямокутний трикутник DBC. Використовуючи теорему Піфагора для даного трикутника, отримаємо:

Враховуючи далі, що sin 2 (α)+cos 2 (α)=1, остання рівність перепишеться у вигляді BC 2 =AB 2 +AC 2 -2·AB·AC·cos(α). Тобто, для випадку трикутника ABC з гострим кутом A теорема косинусів доведена.

Доведення теореми косинусів для трикутників з тупим кутом α:

Знову-таки, проведемо висоту BD до сторони AC трикутника ABC. Так як A – кут біля основи, то побудована висота впиратиметься в продовження основи AC.

В результаті отримаємо два прямокутних трикутника DBA і DBC. Розглянемо трикутник DBA. Не важко переконатись, що градусна міра кута DAB цього трикутника дорівнює (180°-α). Тоді, справедливими являються наступні рівності: BD=AB·sin(180°-α), AD=AB·cos(180°-α) і DC=AC+AB·cos(180°-α).

Далі, для триктуника DBC, по теоремі Піфагора, матимемо:

Виходячи з того, що sin 2 (180°-α)+cos 2 (180°-α)=1 і cos(180°-α)=-cos(α), остання рівність перепишеться у вигляді BC 2 =AB 2 +AC 2 -2·AB·AC·cos(α). Тобто, для випадку з тупим кутом A, теорему косинусів також доведено.

Доведення теореми косинусів для прямокутних трикутників з кутом α:

Якщо α=90°, то по теоремі Піфагора BC 2 =AB 2 +AC 2 . Так як cos(90°)=0, то BC 2 =AB 2 +AC 2 -2·AB·AC·cos(90°). Таким чином, теорема Піфагора – окремий випадок теореми косинусів.

Наслідки теореми косинусів.

Теорема косинусів має кілька наслідків, які можуть бути корисними при вирішенні різних геометричних задач. Ось декілька з них:

Визначення кутів з використанням теореми косинусів:

Теорема косинусів дозволяє, знаючи три сторони трикутника, знайти його кути (косинуси кутів). До прикладу з рівності BC 2 =AB 2 +AC 2 -2·AB·AC·cos(α) випливає формула:

Зауваження: для кутів β і γ матимемо

Виявлення виду трикутника за допомогою теореми косинусів:

За допомогою теореми косинусів можна за трьома сторонами визначити вид трикутника: гострокутний, прямокутний або тупокутний. Так, з формули cos(α)=(AB 2 +AC 2 -BC 2 )/(2·AB·AC), з урахуванням того, що 2·AB·AC>0, випливає:

• якщо AB 2 +AC 2 -BC 2 >0, то cos(α)>0 і кут α гострий;
• якщо AB 2 +AC 2 -BC 2 , то cos(α) і кут α тупий;
• якщо AB 2 +AC 2 -BC 2 =0, то cos(α)=0 і кут α прямої.

Зауваження: при визначенні виду трикутника досить знайти знак косинуса кута, лежачого проти більшої сторони, оскільки тільки більший кут трикутника може бути прямим або тупим.

Паралелограм та теорема косинусів:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін: BD 2 +AC 2 =2*AB 2 +2*AD 2 .

Доведемо дане твердження. Для цього, припустимо, що в паралелограмі ABCD, ∠A=α – гострий. Зазначимо, що в такому випадку, ∠B=(180°-α) – тупий. Тоді, по теоремі косинусів з трикутників ABD та ABC матимемо:

Додавши далі почленно отримані рівності, врахувавши при цьому, що cos(180°-α)=-cos(α), отримаємо BD 2 +AC 2 =2·AB 2 +2·AD 2 , що і треба було довести.

Дана формула дає можливість:

• знаючи дві сусідні сторони і одну з діагоналей паралелограма, знайти іншу діагональ;
• знаючи дві діагоналі і одну зі сторін паралелограма, знайти сусідню з нею сторону.

Обчислення медіани за формулою теореми косинусів:

Довжина медіани AD трикутника ABC обчислюється за формулою:

Доведемо дане твердження також. Для цього, продовжимо медіану AD за точку D на її довжину (AD=DE) та проведемо відрізки BE і CE.

Так як у чотирикутника ABCD діагоналі BC і AE точкою перетину діляться навпіл, то він – паралелограм. По властивості діагоналей паралелограма:

• знаючи три сторони трикутника, знайти будь-яку з його медіан;
• знаючи дві сторони і медіану, проведену до третьої сторони, знайти третю сторону;
• знаючи три медіани трикутника, знайти будь-яку зі сторін трикутника.

Застосування теореми косинусів в прикладах.

Тепер розглянемо декілька прикладів застосування теореми косинусів для розв’язування різних геометричних задач.

Приклад 1: у трикутнику сторони AB=8 см, BC=5 см, AC=7 см. Знайти градусну міру кута B.

Отже, по теоремі косинусів маємо:

Приклад 2: з’ясувати, яким є трикутник зі сторонами AB=5 см, BC=6 см, AC=7 см.

Для цього, як зазначалося вище, необхідно знайти знак косинуса кута, що лежить проти більшої сторони. Зазначимо, що в нашому випадку такою являється сторона AC.

Отже, виходячи з того, що AB 2 +BC 2 -AC 2 =5 2 +6 2 -7 2 =25+37-49=12>0, приходимо до висновку, що cos(β)>0. Звідси, трикутник ABC гострокутний.

Приклад 3: дві сторони AB і BC трикутника дорівнюють 5 см і 10 см відповідно. Його площа – 25 см 2 . Знайти третю сторону трикутника.

Так як sin(90°)=1, то ∠B=β=90°. Для знаходження сторони AC застосуємо теорему косинусів:

Дивіться також:

Тема тангенс кута надзвичайно цікава та корисна для розуміння геометрії та тригонометрії. Однак, є й інші важливі теми, які можуть поглибити ваші знання та сприяти кращому розумінню цієї концепції. Отже, в рамках вивчення тангенса кута, вам можуть бути корисні наступні теми:

13.2: Одиничне коло – Функції синуса та косинуса

Шукаєте гострих відчуттів? Тоді розглянемо поїздку на Singapore Flyer, найвищому в світі колесі огляду. Розташоване в Сінгапурі колесо огляду злітає на висоту 541 футів – трохи більше десятої милі! Описаний як колесо спостереження, вершники насолоджуються вражаючими видами, коли вони подорожують від землі до вершини і вниз знову повторюючись. У цьому розділі ми розглянемо цей тип обертового руху по колу. Для цього нам потрібно спочатку визначити тип кола, а потім помістити це коло на систему координат. Тоді ми можемо обговорити круговий рух з точки зору координатних пар.

Малюнок \(\PageIndex\) : Singapore Flyer є найвищим у світі колесом огляду. (Кредит: «Вібін JK» /Flickr)

Пошук значень функцій для синуса і косинуса

Щоб визначити наші тригонометричні функції, ми починаємо з малювання одиничного кола, окружності по центру в початку з радіусом 1, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Кут (в радіанах), який \(t\) перехоплює, утворює дугу довжини \(s\) . Використовуючи формулу \(s=rt\) , і знаючи \(r=1\) , що, ми бачимо, що для одиниці кола, \(s=t\) .

Нагадаємо, що осі x- і y ділять координатну площину на чотири чверті, звані квадрантами. Ми позначаємо ці квадранти, щоб імітувати напрямок позитивного кута змітає. Чотири квадранти позначені I, II, III та IV.

Для будь-якого кута \(t,\) ми можемо позначити перетин сторони терміналу та одиничного кола як за його координатами, \((x,y)\) . Координати \(x\) і \(y\) будуть виходами тригонометричних функцій \(f(t)= \cos t\) і \( f(t)= \sin t\) , відповідно. Це означає \(x= \cos t\) і \(y= \sin t\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : Одиниця окружності, де центральний кут – \(t\) радіани

Одиничне коло має центр в \((0,0)\) і радіус \(1\) . В одиничному колі довжина перехопленої дуги дорівнює радіанової мірі центрального кута \(1\) .

\((x,y)\) Дозволяти кінцева точка на одиниці окружності дуги довжини дуги \(s\) . \((x,y)\) Координати цієї точки можна описати як функції кута.

Визначення синусоїдних і косинусних

Тепер, коли у нас є одиничне коло, ми можемо дізнатися, як \((x,y)\) координати співвідносяться з довжиною дуги і кутом. Функція синуса пов’язує дійсне число \(t\) з y -координатою точки, де відповідний кут перехоплює одиничну окружність. Точніше, синус кута \(t\) дорівнює y -значенню кінцевої точки на одиничній окружності дуги довжини \(t\) . На \(\PageIndex\) малюнку синус дорівнює \(y\) . Як і всі функції, функція синуса має вхід і вихід. Його вхід – міра кута; його виходом є y -координата відповідної точки на одиничному колі.

Функція косинуса кута \(t\) дорівнює x -значенню кінцевої точки на одиничному колі дуги довжини \(t\) . На \(\PageIndex\) малюнку косинус дорівнює x.

Оскільки розуміється, що синус і косинус – це функції, нам не завжди потрібно записувати їх дужками: \(\sin t\) такий же, як \(\sin (t)\) і \(\cos t\) такий же, як \(\cos (t)\) . Аналогічно, \(\cos ^2 t\) є загальновживаним скороченням позначення для \(( \cos (t))^2\) . Майте на увазі, що багато калькуляторів і комп’ютерів не розпізнають стенографічні позначення. Якщо ви сумніваєтеся, використовуйте додаткові дужки при введенні розрахунків в калькулятор або комп’ютер.

ФУНКЦІЇ СИНУСА І КОСИНУСА

Якщо \(t\) дійсне число, а точка \((x,y)\) на одиничному колі відповідає куту \(t\) , то

\[ \begin \cos t & = x \\ \sin t & = y \end\]

ЯК: З огляду на точку \(P(x,y)\) on the unit circle corresponding to an angle of \( t\) , find the sine and cosine

1. Синус \(t\) дорівнює y -координаті точки \(P: \sin t=y\) .
2. Косинус \(t\) дорівнює x -координаті точки \(P: \cos t=x\) .

Приклад \(\PageIndex\) : Finding Function Values for Sine and Cosine

Точка \(P\) – точка на одиничній окружності, що відповідає куту \(t\) , як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Знайти \(\cos (t)\) і \(\sin (t)\) .

Ми знаємо, що \(\cos t \) є x -координата відповідної точки на одиничному колі і \(\sin t\) є y -координатою відповідної точки на одиничному колі. Отже:

Певний кут \(t\) відповідає точці на одиничній окружності \((−\frac>,\frac>)\) , як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Знайти \(\cos t\) і \(\sin t\) .

Пошук синусів і косинусів кутів на осі

Для квадратральних кутів відповідна точка на одиничному колі припадає на вісь x- або y. У такому випадку ми можемо легко обчислити косинус і синус за значеннями \(x\) і \(y\) .

Приклад \(\PageIndex\) : Calculating Sines and Cosines along an Axis

Переміщення \(90°\) проти годинникової стрілки навколо одиничного кола від позитивної осі х призводить нас до вершини кола, де \((x,y)\) координати (0, 1), як показано на малюнку \(\PageIndex\) .

Використовуючи наші визначення косинуса і синуса,

\[\begin x & \cos t = \cos (90°) = 0 \\ y & \sin t = \sin (90°) = 1 \end\]

Косинус 90° дорівнює 0; синус 90° дорівнює 1.

Знайти косинус і синус кута \(π\) .

Піфагорійська ідентичність

Тепер, коли ми можемо визначити синус і косинус, ми дізнаємося, як вони співвідносяться один з одним і одиничним колом. Нагадаємо, що рівняння для одиничного кола є \(x^2+y^2=1\) . Тому що \(x= \cos t\) і \(y=\sin t\) , ми можемо замінити \( x\) і \(y\) отримати \(\cos ^2 t+ \sin ^2 t=1.\) Це \( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1,\) рівняння, відоме як Піфагора Ідентичність. Див \(\PageIndex\) . Малюнок.

Ми можемо використовувати Піфагорійську Ідентичність, щоб знайти косинус кута, якщо ми знаємо синус, або навпаки. Однак, оскільки рівняння дає два рішення, нам потрібні додаткові знання кута, щоб вибрати рішення з правильним знаком. Якщо ми знаємо квадрант, де знаходиться кут, ми можемо легко вибрати правильне рішення.

Піфагора Ідентичність стверджує, що для будь-якого дійсного числа \(t\) ,

how to: За допомогою синуса деякого кута t та його квадратного розташування знайдіть косинус t

1. Підставте відоме значення \(\sin (t)\) в Піфагорійську Ідентичність.
2. Вирішити для \( \cos (t)\) .
3. Виберіть рішення з відповідним знаком для x -значень у квадранті, де знаходиться t t.

Приклад \(\PageIndex\) : Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

Якщо \(\sin (t)=\frac\) і \(t\) знаходиться в другому квадранті, знайдіть \( \cos (t)\) .

Якщо відкинути вертикальну лінію з точки на одиничному колі, що відповідає \(t\) , ми створимо прямокутний трикутник, з якого ми можемо побачити, що Піфагора Ідентичність – це просто один випадок теореми Піфагора. Див \(\PageIndex\) . Малюнок.

Підставляючи відоме значення синуса в Піфагорійську ідентичність,

Оскільки кут знаходиться у другому квадранті, ми знаємо, що значення х є негативним дійсним числом, тому косинус також негативний. Так

Якщо \(\cos (t)=\frac\) і tt знаходиться в четвертому квадранті, знайдіть \( \sin (t)\) .

Пошук синусів і косинусів спеціальних кутів

Ми вже дізналися деякі властивості спеціальних кутів, таких як перетворення з радіанів в градуси. Ми також можемо обчислити синуси та косинуси спеціальних кутів, використовуючи Піфагорійську Ідентичність та наші знання про трикутники.

Пошук синусів і косинусів кутів 45°

Спочатку ми будемо дивитися під кутами \(45°\) або \(\frac\) , як показано на малюнку \(\PageIndex\) . \(45°–45°–90°\) Трикутник – це рівнобедрений трикутник, тому x- і y -координати відповідної точки на колі однакові. Оскільки x- і y -значення однакові, значення синуса і косинуса також будуть рівними.

При \(t=\frac\) , що дорівнює 45 градусам, радіус одиничної окружності перетинає перший квадратний кут. Це означає, що радіус лежить уздовж лінії \(y=x\) . Одинична окружність має радіус, рівний 1. Отже, сформований під лінією прямокутний трикутник \(y=x\) має сторони \(x\) \(y (y=x),\) і радіус = 1. Див \(\PageIndex\) . Малюнок.

З теореми Піфагора отримуємо

Підставляючи \(y=x\) , отримуємо

Поєднуючи подібні терміни ми отримуємо

І вирішуючи за \(x\) , отримуємо

При \(t=\frac\) або 45 градусах,

Якщо потім раціоналізувати знаменники, то отримаємо

Отже, \((x,y)\) координати точки на колі радіуса \(1\) під кутом \(45°\) є \((\frac>,\frac>)\) .

Пошук синусів і косинусів 30° і 60° кутів

Далі ми знайдемо косинус і синус під кутом \(30°\) , або \(\frac\) . Спочатку намалюємо трикутник всередині кола однією стороною під кутом \(30°\) , а інший під кутом \(−30°\) , як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Якщо отримані два правильних трикутника об’єднати в один великий трикутник, зверніть увагу, що всі три кута цього більшого трикутника будуть \(60°\) , як показано на малюнку \(\PageIndex\) .

Малюнок \(\PageIndex\) Малюнок \(\PageIndex\)

Оскільки всі кути рівні, сторони теж рівні. Вертикальна лінія має довжину \(2y\) , і так як сторони всі рівні, то можна зробити висновок, що \(r=2y\) або \(y=\fracr\) . З тих пір \( \sin t=y\) ,

І так як \(r=1\) в нашому одиничному колі,

Використовуючи Піфагорійську Ідентичність, ми можемо знайти значення косинуса.

2 π 6 + гріх 2 ( π 6 ) = 1 2 ( π 6 ) + ( 1 2 ) 2 = 1 2 ( π 6 ) = 3 4 Використовувати властивість квадратного кореня . ( π 6 ) = ± 3 ± 4 = 3 2 Так як у позитивний, вибирайте позитивний корінь . 2 π 6 + гріх 2 ( π 6 ) = 1 2 ( π 6 ) + ( 1 2 ) 2 = 1 2 ( π 6 ) = 3 4 Використовувати властивість квадратного кореня . cos ( π 6 ) = ± 3 ± 4 = 3 2 Так як у позитивний, вибирайте позитивний корінь .

\((x,y)\) Координати точки на колі радіуса \(1\) під кутом \(30°\) є \((\frac>,\frac)\) . При \(t=\frac\) (60°) радіус одиничної окружності, 1, служить гіпотенузою прямокутного трикутника 30-60-90 градусів, \(BAD,\) як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Кут \(A\) має вимір 60°. 60°. У точці \(B,\) малюємо кут \(ABC\) з мірою \( 60°\) . Ми знаємо кути в трикутник сума до \(180°\) , тому міра кута \(C\) також \(60°\) . Тепер у нас вийшов рівносторонній трикутник. Оскільки кожна сторона рівностороннього трикутника \(ABC\) однакова довжина, і ми знаємо, що одна сторона є радіусом одиничного кола, всі сторони повинні бути довжини 1.

Міра кута \(ABD\) становить 30°. Отже, якщо подвійний, кут \(ABC\) дорівнює 60°. \(BD\) перпендикулярна бісектриса \(AC\) , тому вона розрізається \(AC\) навпіл. Це означає, що \(AD\) це \(12\) радіус, або \(12.\) Зверніть увагу, що \(AD\) це x -координата точки \(B\) , яка знаходиться на перетині кута 60° та одиничного кола. Це дає нам трикутник \(BAD\) з гіпотенузою 1 і \(x\) стороною довжини \(\frac\) .

З теореми Піфагора отримаємо

Підставляючи \(x=\frac\) , отримуємо

Вирішуючи за \(y\) , отримуємо

Оскільки \(t=\frac\) має кінцеву сторону в квадранті I, де y- координата позитивна, ми вибираємо \(y=\frac<\sqrt>\) , позитивне значення.

При \(t=\frac\) (60°) \((x,y)\) координати точки на колі радіуса \(1\) під кутом \((\frac,\frac<\sqrt>)\) , тому ми можемо знайти синус і косинус. \(60°\)

( х , у ) = ( 1 2 , 3 2 ) х = 1 2 , у = 3 2 т = 1 2 , гріх т = 3 2 ( х , у ) = ( 1 2 , 3 2 ) х = 1 2 , у = 3 2 cos т = 1 2 , гріх т = 3 2

Тепер ми знайшли значення косинуса та синуса для всіх найбільш часто зустрічаються кутів у першому квадранті одиничного кола. Таблиця \(\PageIndex\) підсумовує ці значення.

\(\PageIndex\) На малюнку показані загальні кути в першому квадранті одиничного кола.

Використання калькулятора для пошуку синусів і косинусів

Щоб знайти косинус і синус кутів, відмінних від спеціальних кутів, звертаємося до комп’ютера або калькулятору. Майте на увазі: Більшість калькуляторів можна встановити в режим «ступінь» або «радіан», який повідомляє калькулятору одиниці для вхідного значення. Коли ми оцінюємо \( \cos (30)\) на нашому калькуляторі, він оцінить його як косинус 30 градусів, якщо калькулятор знаходиться в градусному режимі, або косинус 30 радіанів, якщо калькулятор знаходиться в радіановому режимі.

Як: Задано кут в радіанах, скористайтеся графічним калькулятором, щоб знайти косинус

1. Якщо калькулятор має градусний режим і радіановий режим, встановіть для нього радіановий режим.
2. Натисніть клавішу COS.
3. Введіть радіанове значення кута і натисніть клавішу закрити дужки «)».
4. Натисніть клавішу ENTER.

Приклад \(\PageIndex\) : Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

Оцініть \( \cos (\frac)\) за допомогою графічного калькулятора або комп’ютера.

Введіть наступні натискання клавіш:

Ми можемо знайти косинус або синус кута в градусах безпосередньо на калькуляторі з градусним режимом. Для калькуляторів або програмного забезпечення, які використовують лише радіановий режим, ми можемо знайти знак \(20°\) , наприклад, включивши коефіцієнт перетворення в радіани як частину вхідних даних:

Визначення області та діапазону синусоїдних і косинусних функцій

Тепер, коли ми можемо знайти синус і косинус кута, нам потрібно обговорити їх області і діапазони. Які області функцій синуса і косинуса? Тобто, які найменші і найбільші числа, які можуть бути входами функцій? Оскільки кути менше 0 і кути більше 2π 2π все ще можуть бути позначені на одиничному колі і мають реальні значення \(x, y\) , і \(r\) , немає нижньої або верхньої межі кутів, які можуть бути введені в синус і косинус функції. Вхідними даними для функцій синуса і косинуса є обертання від позитивної осі x, і це може бути будь-яке дійсне число.

Які діапазони функцій синуса і косинуса? Які найменші та найбільші можливі значення для їх виведення? Ми можемо побачити відповіді, вивчивши одиничне коло, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Межі x -координати є \( [−1,1]\) . Межі y -координати також є \([−1,1]\) . Тому діапазон як синусоїдних, так і косинусних функцій є \([−1,1]\) .

Пошук опорних кутів

Ми обговорювали знаходження синус і косинус для кутів у першому квадранті, але що робити, якщо наш кут знаходиться в іншому квадранті? Для будь-якого заданого кута в першому квадранті існує кут у другому квадранті з однаковим значенням синуса. Оскільки значення синуса є y -координатою на одиничному колі, інший кут з таким же синусом матиме те саме значення y, але має протилежне значення x. Тому його значення косинуса буде протилежним значенню косинуса першого кута.

Так само в четвертому квадранті буде кут з тим же косинусом, що і початковий кут. Кут з однаковим косинусом матиме те саме значення x, але матиме протилежне y -значення. Отже, його значення синуса буде протилежним значенню синуса вихідного кута.

Як показано на малюнку \(\PageIndex\) , кут \(α\) має те саме значення синуса, що і кут \(t\) ; значення косинусів протилежні. Кут \(β\) має те саме значення косинуса, що і кут \(t\) ; значення синуса протилежні.

гріх ( т ) = гріх ( α ) і ( т ) = − ( α ) гріх ( т ) = − гріх ( β ) і ( т ) = ( β ) гріх ( т ) = гріх ( α ) і cos ( т ) = − cos ( α ) гріх ( т ) = − гріх ( β ) і cos ( т ) = cos ( β ) Малюнок \(\PageIndex\)

Нагадаємо, що опорний кут кута – це гострий кут \(t\) , утворений кінцевою стороною кута \(t\) і горизонтальною віссю. Опорний кут – це завжди кут між \(0\) і \(90°\) , або \(0\) і \(\frac\) радіанами. Як ми бачимо з малюнка \(\PageIndex\) , для будь-якого кута в квадрантах II, III або IV є опорний кут у квадранті I.

Як: З огляду на кут між \(0\) and \(2π\) , find its reference angle

1. Кут у першому квадранті – це власний опорний кут.
2. Для кута у другому або третьому квадранті опорний кут дорівнює \(|π−t|\) або \(|180°−t|\) .
3. Для кута в четвертому квадранті опорний кут дорівнює \(2π−t\) або \(360°−t.\)
4. Якщо кут менше \(0\) або більше, \(2π,\) додайте або відніміть \(2π\) стільки разів, скільки потрібно, щоб знайти еквівалентний кут між \(0\) і \(2π\) .

Приклад \(\PageIndex\) : Finding a Reference Angle

Знайдіть опорний кут, \(225°\) як показано на малюнку \(\PageIndex\) .

Тому що \( 225°\) знаходиться в третьому квадранті, опорний кут